Existieren die folgenden Grenzwerte? (n tief k) 2^{-n} und (an^2 - 9)/(an-3) für n gegen unendlich

Question

Aufgabe:

a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) 2^{-n} \) für festes \( k \in \mathbb{N} \).

b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}^{2}-9}{a_{n}-3} \) für eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n} \neq 3, \forall n \in \mathbb{N} \), und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=3 \).

Answer 1

Ich kann hier nur zu b) etwas sagen:

Wegen 3. Binom lässt sich an-3 rauskürzen:

(an² - 9)/(an-3) für n gegen unendlich         an≠3 

= ((an-3)(an+3)) / (an-3) 

= an + 3

Nun gilt nach Voraussetzung Grenzwert n gegen unendlich. an → 3.

Daher Grenzwet total: = 3+3 = 6

Anmerkung: Die Schreibweise mit limes auf Papier kannst du bestimmt (oder?)

Answer 2

2^-n konvergiert gegen 0 für n gegen unendlich. Konvergiert dann nicht der gesamte Ausdruck gegen 0?

Comments

"Konvergiert dann nicht der gesamte Ausdruck gegen 0?" Nicht automatisch. "n über k" strebt ja nach Unendlich. Es kommt drauf an was "stärker" bzw. schneller ist.

Ich schätze "n über k" ist stärker. Dann gäbe es keinen Grenzwert. Ich wüsste aber nicht wie ich das jetzt zeigen kann. Oder ob das überhaupt richtig ist.

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(n tief k) ist ab n=2 immer kleiner als 2^n

Das 2^n die Zeilensumme der (n tief k) ist. Deshalb würde ich in der Gegend von (n tief n/2) versuchen zu zeigen, dass der Binomialkoeffizient im Vergleich zu 2^n genügend langsam wächst, um die Vermutung von Grenzwert gegen 0 zu beweisen. Weiss allerdings nicht, ob das gelingt.

Selbstverständlich ist n= 2k gerade und n= 2k+1 ungerade in Fallunterscheidungen zu unterscheiden.

Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge m mit n=2k oder 2k+1 Elementen ist bei grossen n viel grösser als die Anzahl der Teilmengen mit genau k Elementen.