Ansatz zu Matrixexponentialfunktion

Question

kann mir jemand einen Ansatz zu dieser Aufgabe liefern, stehe gerade auf dem Schlauch.

Gegeben sei A :=

3	1
-2	6

Berechnen Sie e^tA; t∈R.

Hinweis: Sie durfen fur diese Aufgabe die folgende Eigenschaft der Matrixexponentialfunktion
verwenden:
Ist B ∈ R^nxn und T ∈ R^nxn invertierbar, so gilt
e^TBT-1
= Te^BT^-1

^lG

Comments

Wie habt ihr denn e^A definiert, wenn A eine Matrix ist?

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Wir hatten A einfach als Matrix aus dem R^nxn definiert und e^tA als

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Tipp: Verwende die Zerlegung \(\begin{pmatrix}3&1\\-2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4&0\\0&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}^{-1}\).

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Ich habe jetzt etwas heraus:

charakteristische polynom: λ² -9λ+20=0

Eigenwerte: λ₁= 5 ,λ₂= 4

Eigentvektor zu λ₁:  v₁ =

1

2

 Eigenvektor zu λ₂ = v₂=

1

1

Damit die Matrix T aufgestellt: T=

1	1
2	1

Diese dann Transformiert: T^-1 =

-1	1
2	-1

Dann mit der gleichung: T^-1*A*T =

5	0
0	4

berechnet. Und daraus dann folgende Gleichung gemacht: e^tA = T * T^-1 * [e^5t, 0 ; 0 e^4t]

und dann zusammen multipliziert.

Ist das richtig? lG

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In der letzten Gleichung ist die Reihenfolge der Faktoren falsch.

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Ach habs falsch abgetippt. Hatte gerechnet: T * [e^5t, 0 ; 0 e^4t] * T^-1

Ist das richtig? Mich verwirrt nämlich, dass ich gelesen hatte, dass eine Jordanische NF herauskommen muss, also bei

5	0
0	4

eig noch ein Eintrag über der 4 sein müsste ?!

lG

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Die Matrix hat zwei verschieden Eigenwerte, ist also diagonalisierbar.

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Okay, dann habe ich das jetzt verstanden.