Wie zeigt man, dass die Potenzmenge mit einer Verknüpfung (A Δ B) eine Gruppe bildet?

Question

Hallo könnt ihr mir kurz weiterhelfen? :)  Die Frage wurde zwar schon einmal gestellt (vor ungefähr zwei Jahren) aber wurde meiner Meinung nach nie so richtig beantwortet.  Sie lautet:Sei X eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge P (X) mit der Verknüpfung A ο B = A Δ B = (A/B) ∪ (B\A) eine Gruppe bildet.
Ich weiß man muss die Gruppenaxiome einzeln beweisen. Aber ich hab keine Ahnung was die Potenzmenge von dieser Verknüpfung sein sollte. Und wie man das dann machen sollte...
;)

Answer 1

Die Potenzmenge einer Menge ist die Menge aller Teilmengen.

Also sind immer A und B zwei Teilmengen von X und du musst

- wie du richtig sagst - die Gruppenaxiome prüfen.

Dass A o B immer wieder eine Teilmenge von X ergibt ist wohl klar,

also ist es in der Tat eine Verknüpfung in P(X).

neutrales El, wäre ein Z , das zu jedem A   AoZ = ZoA = A ist.

A o Z = (A\B) ∪ (Z\A)und das soll = A sein.

Das stimmt, wenn  Z die leere Menge ist, denn

A o {}

( A \ {} ) ∪ ({}\A)

= A ∪ {}

= A   und für    {} o A stimmt es auch.

Und das Inverse zu A ist immer A selbst .

Musst du noch assoziativität zeigen und es ist fertig.

Comments

Danke für deine schnelle Antwort! :) Die leere Menge ist das neutrale Element weil {} ⊆ P(X) gilt, oder? Und wie soll ich die Assoziativität beweisen?

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