Gleichungssystem, Parameter bestimmen so dass das LGS eindeutig lösbar ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:

\( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & a \\ 0 & a & 1 \\ a & 1 & 0 \end{array} \quad \begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \quad \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \)

1. Für welche a ∈ ℝ ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar?

2. Bestimmen Sie alle Lösungen für a = -1.

3. Bestimmen Sie alle Lösungen für a = 1.

Comments

die punkte 2 und 3 habe ich bereits gelöst.

wie ich punkt 1 lösen soll ist fraglich...brauche dann bisschen unterstützung

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Weißt du, wie du die Determinante einer Matrix bestimmen kannst?

Damit das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, muss die Determinante der linken 3x3-Matrix ungleich 0 sein. Du bestimmst jetzt also alle Werte von a, für die die Determinante ungleich 0 ist.

Answer 1

Noch zu 1
Die Determinante deiner 3x3-Matrix kannst du berechnen, indem du die ersten beiden Spalten rechts nochmals anfügst und dann diagonal mutliplizierst. Von links oben nach rechts unten + und umgekehrt -.
10a10
0a10a
a10a1

Det A = 0+0+0-a^3-1-0 = 0
a^3 = -1

a=-1

Nun ist dein Gleichungssystem gemäss Kommentar von Nick eindeutig lösbar, falls a≠-1.