Bestimmung von Supremum, Infimum, Maximum und Minimum

Question

Bestimmen Sie über dem Körper \( \mathbb{R} \) Infimum und Supremum der Menge
$$ M:=\left\{x \in Q | \frac{2 x-1}{\sqrt{3} x-1}<\sqrt{3} x+1, x<\sqrt{3}\right\} $$
Hat \( M \) in \( \mathbb{R} \) ein Minimum und Maximum? Was ändert sich, wenn Sie die Menge \( M \) über dem Körper \( Q \) betrachten?

(Hinweise: Fallunterscheidung bei der Lösung der Ungleichung. Es gilt \( \left.\sqrt{3} \approx 1.7321 \text { und } \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.5774 .\right) \)

Answer 1

(2x -1 ) / (√3 * x - 1)   <  √3 * x + 1

wenn du mit dem Nenner multiplizierst, musst du unterscheiden ob er positiv oder negativ ist

1. Fall Nenner positiv, d.h.    x   >  1 / √3  dann ergibt Multiplikation

2x -1  < (√3 * x + 1 )*(√3 * x - 1 )

2x -1  < 3x^2  - 1

2x <  3x^2

0 < 3x^2 - 2x

0 < x * ( 3x-2 )

0 < x < 1,5

Da wir nur den Fall x   >  1 / √3 betrachten, also   1 / √3 < x < 1,5

2. Fall Nenner negativ d,h,    x   <  1 / √3  dann ergibt Multiplikation

wegen Umdrehens des zeichens

2x -1  > (√3 * x + 1 )*(√3 * x - 1 )  und nach umformen

0 < x * ( 3x-2 )

also x<0  oder x > 1,5 .

Da wir nur den Fall x   >  1 / √3 betrachten, also    x >  1,5

Insgesamt Lösungsmenge der Ungleichung

1 / √3 < x < 1,5  oder    x >  1,5  dazu kommt die weitere Bedingung  x < √3

gibt insgesamt

1 / √3 < x < 1,5  oder     1,5 < x < √3

also inf = 1 / √3 und sup = √3 kein Max oder Min .

In Q existiert weder Max oder Min  noch inf oder sup.

Comments

wo nimmst du die 1,5 her?

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Oh vertan, die 1,5 wären ja 3/2 . Da muss aber überall 2/3 hin.