Auf Stetigkeit überprüfen: f: R2 -> R, (x,y) --> (x2 + y2)/(√(x2 + y2 + 1)-1)....

Question

Wie mache ich das ?

setz ich die obere Funktion gleich der zweiten Funktion also gleich 2 ? und dann? oder anders?

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Aus Duplikat:

√(x²+y²+1)-1 wie löst man diese Gleichung auf. und zwar steht das im Nenner  eines Bruchs, ich will die Funktion auf Stetigkeit überprüfen und dazu den Nenner auflösen, im Zähler steht x²+y². ja der kritische Punkt ist NULL

Answer 1

Damit eine Funktion stetig ist, muss der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an jedem Punkt genau gleich sein. Die Unbestimmte Stelle hier ist bei (0,0).

Also muss der Grenzwert von unten gleich dem Grenzwert von oben gegen 0 sein und das muss noch gleich 2 sein.

Comments

wie löst man den Nenner am besten auf ?

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@Dabi_13: Und das möchtest Du bei dieser Fragestellung genau wie machen?

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Was soll hier bitte der Grenzwert von unten und von oben sein?

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hier ist de Fragesteller:

ich hab das jetzt nach der 3.binomischen Formel aufgelöst und komme auf:

√(x²+y²+1) +1 

und jetzt lasse ich x und y gegen 0 laufen oder? , das heißt bekomme √1 +1 =2 also ist die Funktion stetig ??

danke und Gruß

Answer 2

Erweitere nach der dritten binomischen Formel, vereinfache das Ergebnis und kürze dann.

Answer 3

Für (x ; y) ≠ (0 ; 0) folgt die Stetigkeit aus der Stetigkeit der angewandten Funktionen.

Für (x ; y) = (0 ; 0) zeige ich die Steigkeit mit Hilfe des ε-δ-Kriteriums.

Dieses besagt, dass f genau dann stetig ist, wenn zu jeder ε-Umgebung um f((0 ; 0)) = 2 eine δ-Umgebung um (0 ; 0) existiert, welche durch f vollständig in die ε-Umgebung abgebildet wird:

f(U_δ) ⊆ U_ε  bzw.

(x ; y) ∈ U_δ   ⇒   | f((x ; y) - 2 | < ε

Für alle (x ; y) ∈ U_δ gilt also bei Stetigkeit:

$$\left| \frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 } -1 } -2 \right| <\varepsilon$$

Es lässt sich leicht zeigen, dass stets f((x ; y)) ≥ 2 gilt. Deshalb ist obige Gleichung äquivalent zu:

$$\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 } -1 } -2<\varepsilon$$

Ebenso leicht lässt sich zeigen, dass für alle x ; y ∈ ℝ

$$\quad \quad \quad 1+\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ 8 } \le \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 }$$

gilt. Damit reicht es zu zeigen, dass

$$\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 } -1 } -2\le \frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ 1+\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ 8 } -1 } -2<\varepsilon$$

gilt. Daraus folgt:

$$\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 2 } -\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ 8 } } -2<\varepsilon$$

$$\frac { 8 }{ 4-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } -2<\varepsilon$$

Aus (x ; y) ∈ U_δ und somit |x| ≤ δ; |y| ≤ δ folgt bei hinreichend kleinem δ:

$$\frac { 8 }{ 4-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } -2\le \frac { 8 }{ 4-{ \delta }^{ 2 }-\delta ^{ 2 } } -2<\varepsilon$$

$$\frac { 4 }{ 2-{ \delta }^{ 2 } } -2<\varepsilon$$

$$\delta <\sqrt { 2-\frac { 4 }{ \varepsilon +2 } }$$

D.h., man findet zu jedem auch noch so kleinem ε ein δ, so f(U_δ) ⊆ U_ε gilt. Damit ist gezeigt, dass f in allen Punkten des ℝ² stetig ist.

Comments

Ich möchte den letzten Teil des Beweises ergänzen. Man erhält dadurch einen größeren erlaubten Wert für δ. Natürlich ist auch die obige ursprüngliche Abschätzung für δ richtig.

Es gilt:

$$\left( x;y \right) \in { U }_{ \delta }\quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\le { \delta }^{ 2 }$$

Daraus folgt:

$$\frac { 8 }{ 4-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } -2\le \frac { 8 }{ 4-{ \delta }^{ 2 } } -2<\varepsilon$$

$$\delta <\sqrt { 4-\frac { 8 }{ \varepsilon +2 } }$$

Damit obige Terme positiv und die Nenner ungleich Null bleiben sowie alle Ungleichungen gelten, insbesondere auch

$$\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 } -1 } -2\le \frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ 1+\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ 8 } -1 } -2<\varepsilon,$$

muss δ hinreichend klein, z.B. δ ≤ 1, gewählt werden.