Vollständige Induktion mit Summe (2^k) = 2^{n+1}-1

Question

Hallo. Ich habe folgende Aufgabe und weiß nicht, wie ich am Ende am besten umforme:

IB: ∀ n ∈ ℕ:

$$ \sum _{ k\quad =\quad 0 }^{ n }{ { 2 }^{ k }\quad =\quad { 2 }^{ n+1 }\quad -\quad 1 } \quad $$

IA mit n = 1 habe ich überprüft

IS:

$$ \sum _{ k\quad =\quad 0 }^{ n }{ { 2 }^{ k }\quad =\quad { 2 }^{ n+1 }\quad -\quad 1 } \quad \Rightarrow \quad \sum _{ k\quad =\quad 0 }^{ n+1 }{ { 2 }^{ k }\quad =\quad { 2 }^{ (n+1)+1 }\quad -\quad 1 } $$

Beweis:

$$ \sum _{ k\quad =\quad 0 }^{ n+1 }{ { 2 }^{ k }\quad =\quad \sum _{ k\quad =\quad 0 }^{ n }{ { 2 }^{ k } } +\quad 2(n+1)\quad =\quad ({ 2 }^{ n+1 }\quad -\quad 1)\quad +\quad 2(n+1) }  $$

An dieser Stelle weiß ich nicht, wie ich umforme, weil ich ein "n" zu viel habe ...

Comments

Hi, ich habe es nur überflogen, aber es kommt ganz unten der Term

$$2^{n+1}$$

und nicht

$$2(n+1)$$

hinzu. Vielleicht hilft dir das ja schon.

Answer 1

wenn du in den beiden letzten Zeilen richtig 2ⁿ⁺¹ statt  2•(n+1) schreibst, hast du

2ⁿ⁺¹ - 1  + 2ⁿ⁺¹ =  2• 2ⁿ⁺¹ - 1 = 2ⁿ⁺² - 1  [ = 2^(n+1)+1 - 1 ]   wie gewünscht.

Gruß Wolfgang

Comments

Wer rechnen kann, ist klar im Vorteil.

Danke.