Ableiten einer gebrochen rationalen Funktion f(x)=(2x2+2)/(x+1)2 und dazu die Kurvendiskussion.

Question

Ich soll von f(x)=(2x²+2)/(x+1)² die Schnittpunkte mit den Achsen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte sowie die Asymptoten bestimmen.

1.

Für SPy hab ich f(0)=2 -> Spy=(0|2)

Für Spy f(x)=0=......   |*(x-1)²

f(x)=0=2x²+2     wenn ich jetzt noch durch 2 teile

bekomme ich x²=0

also 0=0

Damit kann ich nicht so recht etwas anfangen da ich beim Zeichen der Funktion festgestellt habe das es keinen SPx giebt. <--- Könnte mir hier jemand den Zusammenhang erklären.

2.

1. Ableitung

Ich wollte die Funktion nach der Quotientenregel ableiten und bin dabei auf folgendes gestoßen. 

Wenn ich den Nenner ableite könnte ich doch im Prinzip zwei Wege gehen:

Kettenregel: 2(x+1)*x

oder.

binomische Formel und dann Ableiten: x²-2x+1 --> 2x-2 

Warum bekomme ich zwei Unterschiedliche Ergebnisse?

Wenn ihr mir bis hier helfen könntet wäre das super!

besten Dank Max

 

Comments

Punk 2 hab ich so eben selber hinbekommen x wird ja zu 1 und somit sind die Ergebnisse wieder gleich :-)

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wo bei mir gerade aufgefallen ist das dann das Vorzeichen ja immer noch nicht stimmt hmm?

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Ok Punkt 2 hat sicher erledigt falsche Binomische Formel angewendet :-(

Answer 1

Hi, es stellt sich erst nochmals die Frage, wie die Funktion jetzt nochmals lautet.

Du hast immer mit (x-1)² gerechnet (Nenner), aber (x+1)² angegeben?!?!

 

Ich berücksichtige mal nur (x-1)²:

-> siehe Kommentar: Ist offensichtlich (x+1)². Rechnung entsprechend modifiziert.

f(x)=(2x²+2)/(x+1)²

 

1. Achsenschnittpunkte:

Den ersten Teil (y-Achsenabschnitt) hast Du schon korrekt gelöst.

Beim x-Achsenabschnitt passts allerdings nicht. Hast Du 2x²+2=0 und dividierst durch 2, dann jeden Summanden!

-> x²+1=0

x²=-1

 

Geht nicht, also keine Nullstellen.

 

2. Extrema und Wendepunkte

Ableitung des Nenners -> 2x+2

Verbauen wir das, haben wir mit der Quotientenregel:

 

f'(x)=(4x-4)/(x+1)³

f''(x)=(-8x+16)/(x+1)⁴

f'''(x)=(24x-72)/(x+1)⁵

 

Extremum:

f'(x)=0 -> (4x-4)=0 -> x=1

Mit f''(1) kontrollieren -> f''(1)>0

Also Minimum. Und zwar bei f(1)=1.

S_Minimum(1|1)

 

Wendepunkte:

f''(x)=0 -> (-8x+16)=0 -> x=2

Mit f'''(2) kontrollieren -> f'''(2)≠0.

Also Wendepunkt. Und zwar bei f(2)=10/9

W(2|10/9)

 

 

Asymptoten:

senkrechte Asymptote bei x=-1 (Polstelle)

waagerechte Asymptote bei lim_x->∞(2x²+2)/(x+1)²=2 (Nennergrad=Zählergrad, so entscheidet der Vorfaktor der beiden höchsten Potenzen)

Also waagerechte Asymptote bei y=2.

 

 

Grüße

 

 

Comments

danke für deine Hilfe leider ist der Nenner mit (x+1)^2 korrekt und ich hab in meinen Rechnungen versehentlich aus + - gemacht.

womit ich nach wie vor f(x)=0=0 raus bekomme oder hab ich hier auch einen Fehler gemacht? Wenn nicht was bedeutet das 0=0 weil die Funktion ja laut Zeichnung keinen Spx hat?

Wenn für f(x)=0=0 raus bekomme würde ich erstmal denken das sie durch den Uhrsprung geht.

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Ich werde das oben gleich mal entsprechend editieren.

 

Nun f(x)=0=0 ist das gleiche wie f(x)=0 und bedeutet, dass Du noch nichts gerechnet hast^^.

Du musst versuchen nach x aufzulösen. Siehe dafür bei mir oben. Das ist nicht möglich.

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Modifizierung vorgenommen. Sollte nun passen.

Ich hoffe, sonst ist es recht verständlich (auch wenn ich manche Sachen abgekürzt habe ;)).
Bin nämlich gleich weg und komme erst morgen wieder.

 

Grüße

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danke! hab den Fehler mein Kürzen gemacht 2/2 wir ja zu 1 und Fällt nicht komplett weg :-(

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So ist es! ^^