Bestimme eine Parametergleichung der Ebene E für folgende Koordinatenform:

Question

E: 2x₁-x₂=25

Leider ist x₃ nicht angegeben, was mich ein wenig verwirrt hat. Muss x₃ = 0 sein?

Answer 1

x₃ = 0 ist bei einer Koordinatenform nichts Besonderes.

E: 2x₁-x₂=25

E hat den Normalenvektor    \(\vec{n}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ 0\end{pmatrix}\) , der senkrecht auf E steht.

Für die Parameterform braucht man einen Stützvektor (= Ortsvektor irgendeines Punktes der Ebene) und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren (= zwei Vektoren, die zu E parallel sind und keine Vielfache voneinander sind.

Wenn sie zu E parallel sind, müssen sie auf dem Normalenvektor senkrecht stehen, ihr Skalarprodukt mit \(\vec{n}\) muss also = 0 sein.

man findet leicht  \(\vec{u}\)  = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 0\end{pmatrix}\)  und  \(\vec{v}\)  = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1\end{pmatrix}\)  als Richtungsvektoren

und     \(\vec{a}\) =  \( \begin{pmatrix} 0 \\ - 25\\ 0\end{pmatrix}\) als Stützvektor (offensichtlich erfüllen seine Koordinaten die Ebenengleichung).

Prameterform:

E:   \(\vec{x}\)  =  \( \begin{pmatrix} 0 \\ - 25\\ 0\end{pmatrix}\)  + λ • \( \begin{pmatrix}  1\\  2\\ 0\end{pmatrix}\)  +  μ • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1\end{pmatrix}\) 

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Leider verstehe ich nicht, wie Sie auf den Stützvektor a gekommen sind.

Beste Grüße

---

Zudem verstehe ich nicht, wie sie auf den Richtungsvektor v kommen, da bei mir der x₃ Wert =0 ist.

Answer 2

E: 2x_{1}-x_{2}=25

Leider ist x_{3 }nicht angegeben, was mich ein wenig verwirrt hat. Muss x_{3 }= 0 sein?

Der Koeffizient von x_3 ist 0. x_{3} ist beliebig wählbar. E verläuft parallel zur x_{3} - Achse.

D.h.

E: 2*x_{1} + (-1)*x_{2} + 0*x_{3}=25

Einige Punkte auf E:

P1(12.5|0|0)

P2(12.5|0|5)

P3(0|-25|0}

P4(0|-25|-8)

usw. 
fett: Die beiden Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Verbinde sie mit einer Geraden. Dann zeichnest du in den beiden Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen Parallelen zur x_{3}-Achse. Nun sieht man ungefähr, wie die Ebene im Raum verläuft.