Vereinigung von offenen Intervallen und Rand einer Menge

Question

Schönen Mittag,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen.

$$ Sei\quad A⊂\left[ a,b \right] \quad die\quad Vereinigung\quad von\quad offenen\quad Intervallen\quad ({ a }_{ i },{ b }_{ i }),\quad sodass\quad jede\quad rationale\quad Zahl\quad in\quad (0,1)\quad in\quad einem\quad ({ a }_{ i },{ b }_{ i })\quad enthalten\quad ist.\quad \\ Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad der\quad Rand\quad von\quad A\quad gegeben\quad ist\quad durch\quad \left[ 0,1 \right] -A$$

Ich weiß, dass die Schnittmenge von offenen Mengen wieder offen ist und das der Rand von A folgendermaßen definiert werden kann:

$$Rand\quad \partial A\quad von\quad A\quad :=\quad \partial A\quad =\quad \overset { \_ \_  }{ A } \quad \sqcap \quad \overset { \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ }{ A\diagdown \left\{ x \right\} \quad  } \\ wobei\quad gilt:\quad A\quad \subset \quad X\quad und\quad x\quad \in \quad X$$

Comments

Bitte schau dir den Post nochmal an. In der Form ist er nicht lesbar.

Text sollte nicht in der Formelumgebung geschrieben werden.

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jetzt editiere ich sie noch einmal. Die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Sei A ⊂ [a,b] die Vereinigung von offenen Intervallen (a_i,b_i), sodass jede rationale Zahl in (0,1) in einem (a_i,b_i) enthalten ist. Zeigen Sie, dass der Rand von A gegeben ist durch: [0,1]-A 

Ich weiß, dass die Schnittmenge und Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist und das der Rand ∂A folgendermaßen definiert ist: 

A ⊂ X und x∈X   dann gilt für 

∂A = $$\overset { \_ \_  }{ A } -\overset { \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_  }{ A\diagdown \left\{ x \right\}  } $$

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"dass die Schnittmenge und Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist "

Das ist falsch. Nur endliche Schnitte von offenen Mengen sind offen. 

Und das was du als Defintion des Rands hinschreibt ist keine.

Der Rand einer Menge U ist definiert als der Abschluss von U ohne das Innere von U.

Answer 1

Da die rationalen Zahlen dicht in den reellen zahlen sind ist der Abschluss von A das Intervall [0,1]. A ist offen, also identisch mit seinem Inneren.

Mit der Defintion von Rand (siehe mein Kommentar) folgt die Behauptung.