Bestimmung der letzten beiden Dezimalziffern

Question

Sei k ∈  N mit k größer gleich 2 und m die k-stellige Dezimalzahl, deren Ziffern alle 1 sind. Bestimmen sie die beiden letzten Dezimalziffern von m^m (mit Beweis).

Answer 1

Die letzten beiden Dezimalziffern von m^m sind 11.

Es sei:

m = 100p + 11       ;         p ∈ ℕ₀

n = 100q + 11        ;         q ∈ ℕ₀

Dann gilt allgemein:

mⁿ mod 100 = 11

D.h., wenn die letzten beiden Dezimalziffern von m und n gleich 11 sind, so sind auch die letzten beiden Dezimalziffern von mⁿ gleich 11.

Beweis:

Zunächst soll mittels Induktion

11ⁿ mod 100 = 11

gezeigt werden.

Induktionsanfang: q = 0  ;  n = 11

11¹¹ mod 100 = 11

Induktionsschritt: q → q + 1  ;  n → n + 100

Nach Induktionsvoraussetzung gilt:

11ⁿ mod 100 = 11^{100q + 11} mod 100 = 11                      | * 11¹⁰⁰

11ⁿ⁺¹⁰⁰ mod 100 = 11^{100(q+1) + 11} mod 100 = 11¹⁰¹ mod 100 = 11

Hier ist der Induktionsbeweis zu Ende und

11ⁿ mod 100 = 11

bewiesen. Abschließend folgt daraus

mⁿ mod 100 = (100p + 11)ⁿ mod 100 = 11ⁿ mod 100 = 11

w.z.b.w.

Die Aufgabenstellung ist ein Spezialfall der bewiesenen Gleichung.

Comments

Ich sitze auch an dieser Aufgabe und kann die Lösung nicht nachvollziehen.

Allgemein steh ich glaube ich auf dem Schlauch.

So wie sich für mich die Fragestellung anhört ist m für z.B. k=2 -> m = 1.1

m^m  = 1.110534241   (Taschenrechner)

Für k=3 -> m = 1.11

m^m  = 1.22815777 ;  also sind für k = 2 und k = 3 die letzten zwei Ziffern schon nicht gleich.

Wie soll man da eine allgemeingültige Aussage treffen?!

Danke für die Hilfe

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Für \(k=2\) wäre \(m=11\) und \(m^m=11^{11}=285311670611\).