Funktion in bruchschreibweise ableiten?

Question

bei der Funktion: y= x⁴/x⁷ (als Bruch geschrieben) würde die Ableitung lauten y'=4x³/7x⁶
da bei unserer Aufgabe gilt x=1 ergibt die Steigung daher k=4/7

Meine Frage dazu:
Warum kann man die Funktion nicht einfach in "divisionsschreibweise" x⁴:x⁷ vereinfachen?
Also x^4-7= x^-3

Die Ableitung dazu wäre ja dann: y'= (-3)x^-4 und wenn man für x wieder 1 einsetzt, die Steigung k=-3

Warum kommt bei eigentlich der gleichen Rechnung, nicht die Gleiche Steigung heraus, bzw. welcher ist den der richtige Lösungsweg und warum?

Answer 1

Hier
bei der Funktion: y= x⁴/x⁷ (als Bruch geschrieben) würde die Ableitung lauten y'=4x³/7x^6

hast du falsch abgeleitet.

Quotientenregel

( u / v  ) ´ = ( u´ * v - u * v´  ) / v^2

Comments

Wie würdest du dann die Steigung errechnen? Bzw. ist die zweite Lösung deshalb nicht die selbe?

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y= x⁴ / x⁷

Quotientenregel ( long version )

u = x^4
u´= 4 * x^3

v = x^7
v ´= 7 * x^6

v^2 = x^14

( u / v  ) ´ = ( u´ * v - u * v´  ) / v²
( u / v ) ´  = (  4 * x^3 * x^7 - x^4 * 7 * x^6 ) / x^14
( u / v ) ´ = ( 4 * x^10 - 7 * x^10 ) / x^14
( u / v ) ´ =  ( -3 * x^10 ) / x^14
( u / v ) ´ =  -3  / x^4

Quotientenregel ( short version )

y = 1 / x³

y´ = -3 * x^2 / x^6
y ´ = -3 / x^4