Zwei Fragen zum Thema Summen

Question

Gibt es einen Unterschied zwischen

S₁₀=∑⁹_v=0(3v+1) = 145 und  S=∑⁹_v=0(3v+1) = 145 ? Sind beide Ergebnisse korrekt  bzw. gleich?

Wie berechne ich diese Summe?

S=∑^∞_n=1(1/3)^n=...?

Answer 1

beim ersten: Einmal hast en Index, einmal nicht? :P

zum zweiten: Geometrische Reihe deren Lösung

$$\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q}$$

Wir haben also eine Indexverschiebung zu machen

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac13\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac13\right)^n - 1 = \frac{1}{1-\frac13} - 1 = \frac32 - 1 = \frac12$$

Grüße