Was bringt die Ableitungsfunktion?

Question

wir machen gerade die Ableitungsfunktion in der Schule.

Ich verstehe nichts, nicht einmal, was mir die Ableitungsfunktion bringt.

1. Was kann ich an der Ableitungsfunktion ablesen?

2. Warum ist die Ableitungsfunktion einer Funktion zweiten Grades eine Gerade? Die Ableitungsfunktion ist ja dann nur auf der einen Seite in der Nähe des Graphen und auf der anderen nicht...

3. Wir haben in der Schule eine Aufgabe gemacht, bei der man gezeichnete Ableitungsfunktionen den gezeichneten Funktionen zuordnen musst. Ich hab gar nicht verstanden, wie die anderen das so schnell konnten. Auf was muss ich achte?

Lg und

Answer 1

1. Was kann ich an der Ableitungsfunktion ablesen?

Wenn du einen x-Wert in die Ableitungsfunktion einsetzt, erhältst du die Steigung der Tangente an den Graphen an dieser Stelle x.

2. Warum ist die Ableitungsfunktion einer Funktion zweiten Grades eine Gerade? Die Ableitungsfunktion ist ja dann nur auf der einen Seite in der Nähe des Graphen und auf der anderen nicht...

Das ergibt sich aus der Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. 

Der Wert der Ableitung bezieht sich immer auf eine bestimmte Stelle x. Nur dort muss die Ableitungsfunktion in der Nähe des Graphen verlaufen.

3. Wir haben in der Schule eine Aufgabe gemacht, bei der man gezeichnete Ableitungsfunktionen den gezeichneten Funktionen zuordnen musst. Ich hab gar nicht verstanden, wie die anderen das so schnell konnten. Auf was muss ich achte?

In den x-Bereichen, in denen die Ableitungsfunktion positiv ist (Gaph oberhalb der x-Achse) steigt der Graph der Funktion an und umgekehrt.

Dort, wo die Ableitungsfunktion die x-Achse schneidet, liegt ein Hochpunkt, wenn f ' vorher negativ war und ab dieser Stelle positiv wird, beim Tiefpunkt umgekehrt.

Wenn die Ableitungsfunktion die x-Achse berührt (ohne zu schneiden), liegt an dieser x-Stelle ein Wendepunkt.

Gruß Wolfgang

Answer 2

1. Die Ableitung f'(x) stellt die Steigung der Tangente an der Stelle x dar. Spezielle Punkte des Graphen der Ableitungsfunktion:

a) Extremstellen der Ausgangsfunktion f(x): Die Steigung der Tangente ist 0, also besitzt f'(x) dort eine Nullstelle (der Graph von f'(x) schneidet die x-Achse).
b) Wendestellen der Ausgangsfunktion f(x): Die Steigung der Tangente ist minimal bzw. maximal, f'(x) besitzt dort also eine Extremstelle.
c) Dort, wo f(x) fällt, ist f'(x) < 0
    Dort, wo f(x) steigt, ist f'(x) > 0

2. Siehe oben

3. Du hast also die Ableitungsfunktion und musst sie der Ausgangsfunktion zuordnen.

a) Suche die Nullstellen der Ableitungsfunktion. Die Ausgangsfunktion muss dort eine Extremstelle haben.
b) Suche die Extremstellen der Ableitungsfunktion. Die Ausgangsfunktion muss dort sein Krümmungsverhalten ändern.
c) Suche die Intervalle, wo die Ableitungsfunktion oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse verläuft.

Oberhalb: Die Ausgangsfunktion muss innerhalb des Intervalls streng monoton wachsen, denn die Ableitungsfunktion gibt dir die Werte der Steigung an.

Also: f'(x) > 0 bedeutet, dass f(x) immer größere Funktionswerte annimmt. Das heißt nicht, dass die Funktionswerte von f(x) positiv sein MÜSSEN. Die Werte werden eben einfach größer.

Unterhalb: Die Ausgangsfunktion muss innerhalb des Intervalls streng monoton fallen.

Also: f'(x) < 0 bedeutet, dass f(x) immer kleinere Funktionswerte annimmt. Das heißt nicht, dass die Funktionswerte von f(x) negativ sein MÜSSEN. Die Werte werden eben einfach kleiner.