Nullteiler in Ring bestimmen

Question

m > 1 eine natürliche Zahl . Bestimme alle Nullteiler im ring Zm. Gib zu jedem Nullteiler a in Z20 ein b in Z20 mit a *20 b = 0 an

Man kann ja folgende Gleichung aufstellen :

x * y = m * n

Wenn diese Gleichung für ein x oder ein y in Zn erfüllt werden kann, also ein passendes x oder y gefunden werden kann , ist x oder y ein Nullteiler . Aber damit wäre der Nullteiler ja noch nicht bestimmt . Wie kann man weiterkommen ?

Der zweite Teil der Aufgabe ist ja relativ klar : ein Nullteiler wäre beispielsweise a = 2 und mit b = 10 folgt a *20 b = 0 .

Comments

Tipp: Unterscheide die Fälle  ggT(x,n) = 1  und  ggT(x,n) > 1.

Answer 1

die Nullteiler $a \in \mathbb{Z_m}$ sind grade die Element, für die gilt: $ggT(a,m) > 1$.

Insbesondere hat $\mathbb{Z_m}$ für $m$ prim keine Nullteiler.

Gruß