Zeigen Sie: Jede nichtleere offene Menge U ⊂ R lässt sich darstellen als abzählbare Vereinigung offener Intervalle

Question

Wie geht das ?

(Lindelöf’scher Überdeckungssatz) Zeigen Sie: Jede nichtleere offene Menge U ⊂ R lässt sich darstellen als abzählbare Vereinigung offener Intervalle.

Hinweis: Um dies einzusehen, können Sie möglichst große Intervalle um die rationalen Elemente von U vereinigen. 

Answer 1

Für alle rationalen Elemente x∈U, definiere d(x):=sup{a∈ℝ I ]x-a;x+a[⊆U}. Da U offen ist, ist damit sicherlich d(x) eine positive reelle Zahl und, weil U offen ist, ist ]x-d(x);x+d(x)[⊆U. Da es insgesamt nur abzählbar viele rationale Zahlen gibt, gibt es damit nur höchstens abzählbar viele dieser Intervalle.

Ist ein y∈U beliebig, und ist y rational, so ist y∈]y-d(y);y+d(y)[⊆U.

Ist y hingegen irrational, so definiere analog wie oben d(y). Dann gibt es im offenen Intervall ]y;y+d(y)/2[ eine rationale Zahl z, und es gilt d(y)/2<d(z)<d(y). Damit ist aber wegen z-y<d(y)/2<d(z), dass y∈]z-d(z);z+d(z)[

Daher liegt jedes Element von U in mindestens einem der Intervalle ]x-d(x);x+d(x)[.Dies beendet beweis.

Comments

Sei U := (0,unendlich).Für y := sqrt(2) gilt dann d(y) = sqrt(2).Mit z := 2 aus (y, y+d(y)/2) = (1.414..., 2.1213...) haben wir d(z) = 2,und daher d(z) > d(y).Der Beweis ist daher falsch.

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Naja, es ist nur eine kleine fehlerhafte Stelle. Ich korrigiere den Beweis ganz schnell:

[…]

Es existiert eine rationale Zahl z im offenen Intervall (y, y+d(y)/2). Es gilt offenbar, dass y in dem Intervall (z-d(y)/2, z+d(y)/2) enthalten ist. Da d(y)/2 kleiner oder gleich d(z) ist, folgt auch, dass y in (z-d(z), z+d(z)) enthalten ist. Das beendet den Beweis.

Das einzige Unkorrekte war also die Ungleichung d(z) < d(y), die ohnehin an keiner Stelle verwendet wurde. Das hätte dem Kommentator vor mir auffallen sollen.

Trotzdem ist es schade, dass kritisiert wird, ohne dass man eine Verbesserungsmöglichkeit vorschlägt.