Konvergenz von Folgen beweisen: Für alle n ∈ℕ seien cn := 1/n ∑nk=1ak und sn:= ∑nk=1bk

Question

Ich hab folgende Aufgabe zu lösen, und noch fehlt mir der zündende Startgedanke

Bin beim lernen auf folgendes Problem gestoßen:

Seien (a_n)_n∈ℕ ⊂ ℝ und (b_n)_n∈ℕ  ⊂  [0,∞)  zwei Folgen. Für alle n ∈ℕ seien c_n := 1/n ∑ⁿ_k=1a_k  und s_n:= ∑ⁿ_k=1b_k. Zeigen Sie:

Ist a_n konvergent, so ist auch c_n konvergent und es gilt  lim_n→∞a_n = lim_n→∞c_n

Leider habe ich momentan noch keinen Ansatz und bin für jeden Tipps offen.

Answer 1

Hi,
zu (a)
Sei \( \lim_{n\to\infty}a_n = a \) dann gilt für \( n > n_0 \)
$$ | c_n - a | = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k  - a \right| = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (a_k  - a) \right| \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n |a_k - a| = $$
$$ \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^{n_0} |a_k - a| + \sum_{k=n_0+1}^n |a_k -a| \right)  \le $$
$$ \frac{1}{n} \left[ M + (n-n_0)\epsilon'  \right] \le \frac{M}{n} + \epsilon'  \le \epsilon $$
falls \( n_0 \in \mathbb{N} \) groß genug.

zu (b)
Betrachte
$$ | a_k - a_m | = \left| \sum_{j=m}^{k-1} (a_{j+1} - a_j) \right| \le \sum_{j=m}^{k-1} |a_{j+1} - a_j| \le \sum_{j=m}^{k-1} b_j \le \epsilon $$ falls \( m \in \mathbb{N} \) groß genug, weil \( s_n \) konvergent ist und somit das Cauchysche Konvergenzkriterium erfüllt. Damit ist \( a_n \) eine Cauchyfolge und somit konvergent.