+1 Daumen
2,1k Aufrufe

Aufgabe:

Seien \( \left(a_{n}\right) \) und \( \left(c_{n}\right) \) zwei konvergente Folgen mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{n} . \) Sei \( \left(b_{n}\right) \) eine weitere Folge mit \( a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} \) für fast alle \( n \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie, dass \( \left(b_{n}\right) \) konvergiert und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \)

von

1 Antwort

0 Daumen

Da cn konvergiert und bn≤cn, konvergiert auch bn nach dem Majorantenkriterium.

Da lim an = lim cn und an≤bn≤cn, muss auch lim bn = lim cn = lim an.

von 2,5 k

Müsste nach dem Majorantenkriterium bn nicht in den Betragsstrichen stehen? Also |bn|≤cn?

Die Antwort ist nicht gut. Das Majorantenkriterium gilt lediglich für Reihen.

Besser:

Sei 0 < Epsilon. Dann gibt es eine N € IN, so dass für alle n >= N gilt:

(1) I cn - a I < E
(2) I an - a I < E
(3) an =< bn =< cn

wobei a = lim an = lim cn ist.

Aus (3) folgt:

an - a =< bn - a und bn - a =< cn - a .

Nun ist zu zeigen, dass I bn - a I < E für alle n >= N ist.

Ist 0 =< bn-a =< cn - a , dann gilt

I bn - a I =< I cn - a I < E

Ist an - a =< bn- a < 0 , dann gilt

- ( an - a) >= - ( bn - a)

also I an -a I >= I bn - a I

und es ist

I bn - a I =< I an - a I < E.


Es gilt also I bn - a I < E sowohl für bn - a >= 0 als auch für bn - a < 0,

daher konvergiert (bn)

und es ist lim bn = a = lim an.

q. e. d.

Muss man bei Deinem Beweis nicht noch zwischen den N und den Epsilons unterscheiden?

Wenn ich für beide Folgen ein Epsilon vorgebe, dann ist es ja möglich, dass die N, ab denen die Folgeglieder näher am Grenzwert sind als Epsilon, unterschiedlich sind.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community