10! + 1 durch 11 teilbar beweisen?

Question

wie im Titel beschrieben, ist es meine Aufgabe zu zeigen, dass die Fakultät (10!) + 1 durch 11 teilbar ist.

Wollte es mit der vollständigen Induktion lösen, hab aber das Problem, den Ansatz aufs Blatt zu kriegen.

hätte das Fakultätszeichen angegeben - untenmit  k=1 und oben n=10 angegeben und dahinter k +1.

Problem ergibt sich schon beim Induktionsanfang, da ((1*2*3*4*5*6*7*8*9*10)+1)/11 ohne Taschenrechner schon ein ganzes Stück arbeit ist. Auch kann ich dann kein n+1 einsetzen, da ja  mein n gleich 10 sein muss.

Wäre dankbar wenn mir wer beim Ansatz helfen könnte.

Comments

Haha, Dosenfutter ist echt mal ein lustiger Benutzername!

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V.I. ist hier nicht das Mittel der Wahl - oder hat die Aufgabe einen hier nicht veröffentlichten Hintergrund?

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Plein, besteht deine Lösung wirklich darin aufzuschreiben, dass es so nicht geht? Damit ist die Frage geschlossen aber dem Frager ist nicht geholfen!

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Die Frage ist noch lange nicht geschlossen.

Meine Antwort beinhaltet eine Rückfrage, wenn diese beantwortet werden sollte, gehts weiter.

Beweistechniken lernen bedeutet selbst nachdenken zu üben und nicht Fertiglösungen abschreiben.

Du kannst aber gerne eine Fertiglösung reinklatschen, dann ist die Frage beantwortet und dem Frager auch nicht geholfen.

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Man kann auch allgemein zeigen, dass für eine Primzahl p gilt, dass (p-1)!=p-1 mod p.

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@pleindespoir:

Die Frage ist für viele mögliche Helfer "geschlossen", weil sie sie unter "offene Fragen" nicht mehr finden!

Habe erst gestern versucht, dir das zu erklären!

@koffi:

Der Mann ist unbelehrbar!

Er kapiert einfach nicht, was hier sinnvollerweise als Anwort bzw. als Kommentar gepostet werden sollte.

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Sehr Schade!

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Bis jetzt hat es noch Niemanden abgehalten, sich in einen Thread zu mischen, nur weil es schon eine oder mehrere Antworten gab.

In diesem Falle hier hat der Fragesteller beispielsweise noch überhaupt keineReaktion gezeigt.

Also liegt hier wieder der Fall vor : Frage posten - Bomberspiel weiterzocken - nach ein paar Stunden nachsehen, ob jemand die Hausaufgaben gemacht hat.

Meine Zweifel an der Aufgabenformulierung erweisen sich in der Mehrzahl der Fälle als berechtigt.

Damit ihr ruhig schlafen gehen könnt, mach ich aus der Antwort einen Kommentar - dann bleibt die andere Antwort oben, die ja trotz allem noch gepostet wurde - von wegen da guckt keiner mehr!

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Das ist weder eine Hausaufgabe, noch will ich dass mir irgendwer die Musterlösung vor die Nase wirft.Naja zurück zum Thema.Dann schmeiß ich die V.I. raus (war wie gesagt nur ein Ansatz der mir sinnvoll erschien)
Wenn man so durchrechnet, kann man sagen dass (n-1)!+n für alle Primzahlen durch n teilbar ist. Wenn ich 2,3 und 5 einsetze, ist das wahrscheinlich nicht Beweis genug. Da es ja unendlich viele Primzahlen gibt, kann ich nicht beweisen dass es für eine sehr große (möglicherweise unbekannte) Primzahl immernoch stimmt?
"Man kann auch allgemein zeigen, dass für eine Primzahl p gilt, dass (p-1)!=p-1 mod p." - danke für die Antwort Yakyu. Ich finde gerade nur keinen Bezug zur Aufgabe, da ich ja hier nirgends durch p dividiere, sondern ich mit dem Rest (mod) der Division arbeite?

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sorry für den Doppelpost, hab erst geschrieben, dann die Antwort ganz unten gesehen. Leuchtet mir ein, dass mit mod11 0 herauskommen muss. 

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EDIT: Wo ist denn nun der Doppelpost? Den könnte man ja wirklich schliessen. Bitte Link angeben.

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(p-1)^2 = p-1 mod p falls p eine Primzahl ist. Desweiteren ist für p größer als 3 die Anzahl der Elemente {2, .. , p-2} gerade und je 2 dieser Elemente sind im Körper \(\mathbb{Z}_p\) invers zueinander, sprich ihr Produkt ergibt bei Division durch p den Rest 1.
Inbesondere ist somit:
(p-2)! = 1 mod p
(p-1)! = p-1 mod p
(p-1)! +1 = 0 mod p.

Answer 1

modulo 11 ist
10! + 1 ≡ 1·2·3·4·5·(-5)·(-4)·(-3)·(-2)·(-1) + 1 ≡ 1 - 120² ≡ -14399 ≡ 0 mod 11.