Beschreibe die ganzrationale Funktion bei x nahe 0

Question

Hallo :-)

Ich bin gerade dabei ein paar Übungen für meine KA zu machen, komme hier aber leider nicht weiter, wei

ich mir einfach nicht sicher bin.

Kann jemand bitte kontrollieren b das die richtige Funktion für x nahe 0 ist? :-)

             x nahe 0 h(x)= -2x+1

                                    h(x)= 2^2+4

                               h(x)=(x)^2+3x^2-1

                                          h(x)=x+1

Also kann man sagen das die Funktion nahe 0 immer die niedrigste(n) Potenz(en) + das absolute Glied (also die Zahl ^0 ist) ?

Lg und Danke schon mal :-)

Answer 1

h(x)= 2²+4 sollte h(x)= 2x²+4 sein

h(x)=(x)²+3x²-1 solltest du noch weiter vereinfachen.

Die anderen zwei sehen gut aus.

> ... das die Funktion nahe 0 immer die niedrigste(n) Potenz(en) + das absolute Glied (also die Zahl ⁰ ist)

Anders ausgedrückt, der Verlauf von ganzrationalen Funktionen wird nahe bei null durch die Summanden mit niedrigen Exponenten bestimmt.

Die Summanden mit höheren Exponenten spielen für die genauen Funktionswerte natürlich auch eine Rolle, die ist aber so gering, dass sie für den grundsätzlichen Verlauf vernachlässigt werden können.

Comments

Oh vielen Dank, die 2 Fehler sind mir nicht aufgefallen! :-)

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Mir ist nicht klar, wie ihr entscheidet, ob ihr die quadratischen Anteile berücksichtigt oder nicht.

Soll x einfach nur einmal in die Rechnung eingehen?

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2 * x^4 + 3 * x^2 - 2 * x + 1

Die Reihe wäre also

genähert : 3 * x^2 - 2 * x + 1
noch mehr genähert :  - 2 * x + 1
noch mehr genähert :  1

~plot~ 2 * x^4 + 3 * x^2 - 2 * x + 1 ; 3 * x^2 - 2 * x + 1 ; - 2 * x + 1 ; 1 ; [[ -1 | 1 | 0 | 2 ]] ~plot~

Sieht nicht ganz so glücklich aus.

Hieß der Vorgang nicht " Linearisierung ".
Da muß ich direkt bei Wikipedia einmal reinschauen.

Bei der 3.Funktion gehört  bei x^2 sicherlich eine
andere Potenz hin z.B. x^3

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Wenn die Ursprungsfunktion durch eine lineare Funktion in einem
Punkt ersetzt werden soll muß die Tangentengleichung bestimmt
werden.
Wikipedia :
Das einfachste Verfahren zur Linearisierung ist
das Einzeichnen der Tangente in den Graphen.

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> Mir ist nicht klar, wie ihr entscheidet, ob ihr die quadratischen Anteile berücksichtigt oder nicht.

Die Aufgabe lautet, den Verlauf nahe bei Null zu beschreiben. Es ist nicht damit getan, einfach die Glieder mit den kleinsten Exponenten anzugeben, sondern es sollen auch Schlussfolgerungen daraus gezogen werden. Durch mehr Glieder bekommt man manchmal mehr Schlussfolgerungen:

Die Funktion f(x) = 2x⁴ + 3x² - 2x + 1 hat y-Achsenabschnitt 1 wegen des absoluten Glieds, hat dort eine Steigung von -2 wegen des linearen Glieds und ist dort linksgekrümmt wegen des quadratischen Glieds.