Grenzwert berechnen gegebenfalls mit l`Hospital Hilfe

Question

komme bei der Aufgabe nicht weiter.

$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ (\frac { 2\arctan { (x) }  }{ \pi  } )^{ x } } $$

Man muss hier wahrscheinlich erstmal arctan umschreiben oder?

Danke schonmal

Answer 1

Das ist ja von der Form f(x) = g(x) ^h(x)  mit  g(x) geht gegen 1 und  h(x) geht gegen unendlich.

Also der Typ  "1 hoch unendlich" und da versucht man erst mal, auf die klassische

Form der Anwendung des d'Hospital zu kommen, indem man

ln ( f(x)) =  ln ( g(x) ^h(x) ) = h(x) * ln ( g(x) ) betrachtet. Das hat dann den Typ  "unendlich * 0 "

und  wenn man das als  ln ( g(x) )   /   ( 1 / h(x) ) schreibt, ist es der gewünschte Typ  0 / 0.

Hier wäre das also    ln( f(x) )  = ln ( (2/pi) * arctan(x) )    /     (    1 / x )   )

dann liefert d'Hospital   ( 1 / ( (2/pi) * arctan(x) ) *   (2/pi) * ( 1 / ( 1 +x^2 )   ) /  ( -1 / x^2 )

=   (  (2/pi) * ( 1 / ( 1 +x^2 )  /   ( arctan(x) ) *   (2/pi))  )   *   ( - x^2 )

=      (  (2/pi) * ( - x^2  / ( 1 +x^2 )  /   ( arctan(x) ) *   (2/pi))  ) 

und das hat für x gegen unendlich den Grenzwert

2/pi   *         ( -1)                /      ( ( pi/2) *   (2/pi))

= -2 / pi

Das war aber nun der GW von ln ( f(x) )   also hat

f(x) den GW    e ^{-2 / pi}     .

Comments

erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort :)

Ein paar Fragen hätte ich noch...

wieso muss man ln hier nicht mitableiten? Bleibt ja bis zum Ende sozusagen stehen und man schreibt es dann als e Funktion um.

Und an der Stelle: "dann liefert d'Hospital...."wurde ja die erste Ableitung angewendet. Nun wäre das doch einfach ein Doppelbruch und man hätte:

f(x)= x*2/pi *arctan(x)

f'(x)= 2/pi arctan(x)*1+x*((pi/2)*1/1+x^2

aber du schreibst

( 1 / ( (2/pi) * arctan(x) ) *   (2/pi) * ( 1 / ( 1 +x² )   ) /  ( -1 / x² )

Was hab ich da falsch gemacht?

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1.  Das Umformen mit dem ln diente ja nur dazu

die Form  0/0 zu erhalten.

Und das ist für den Term mit Logarithmus.

Also wird für den der GW gebildet und nachher der

Logarithmus aufgelöst.

Bei d'Hospital.. wird im Falle   a(x) / b(x) immer

a ' (x)  /  b ' (x) betrachtet.

Nicht etwaq nach der Quotientenregel abgeleitet.