Question

Grenzwert berechnen (mit Substitution und oder L', Hospital)

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe gegeben:

\(\lim_{{x \to \infty}} x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} - 2\sqrt{x}\right)\)

Ich hatte ein wenig Probleme damit es zu berechnen, da ich irgendwie was falsch angewendet habe.

Ich weiß mittlerweile das der Grenzwert= -1/4 sein soll, aber ich weiß nicht wie ich da hinkommen soll. Ich habe es mit L' Hospital und substitution versucht aber verechnene mich irgendwie die ganze Zeit. Ich komme nie auf -1/4

Answer 1

Substitution \(x=\frac 1t\) mit \(t\to0^+\) ist hier günstig:

$$x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} - 2\sqrt{x}\right)\stackrel{x=\frac 1t}{=}\frac{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}-2}{t^2} =\ldots$$

Jetzt hilft Taylor schnell wegen \(\sqrt{1+t}= 1+\frac t2 - \frac 18 t^2 + o(t^2)\)

$$\ldots = \frac{1+\frac t2 - \frac 18 t^2 + o(t^2) + 1-\frac t2 - \frac 18 t^2 + o(t^2)-2}{t^2} = \ldots $$

$$\ldots = \frac{-\frac 14 t^2 + o(t^2)}{t^2}= -\frac 14 + o(1) \stackrel{t\to 0^+}{\rightarrow}-\frac 14$$

Comments

Gibt es auch eine andere Möglichkeit übers Erweitern zur 3. binom. Formel:

((a+b)-c))*((a+b)+c)) =  (a+b)^2 -c^2

Und dann ausklammern und kürzen ??

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Ah ok! Ich hatte irgendwie falsch substiuiert XD

Danke!