Grenzwert mit einer Fakultät berechnen

Question

Hallo ich soll für die Folge dn=(n über k)*n^{-k}  mit n element von N und k element von N ( k fest)

den Grenzwert für n→∞ berechnen.

Ich hab mal mit der Definition von Binomialkoeffizienten die Folge soweit vereinfacht das steht:

n!/(k!*(n-k)!*n^k)

Könnte mir jemand weiterhelfen :) Bitte , Danke !

Comments

Schreib's lieber so: $${n\choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}{k!}.$$ Dann geht das Teilen durch \(n^k\) ganz einfach.

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Hmm ok , dann hat man im Zähler also noch k faktoren , was mit sich birgen würde ein n^k im Zähler + Restfaktoren die aber eine niedrigere Potenz haben als k.

würde man erweitern mit der Höchsten Potenz also 1/n^k/1/n^k würde das bedeuten im Zähler bleibt 1 und im Nenner 1*0 was dann 0 wäre .

Geht das in die richtige richtung?

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Du hast im Zähler (n-k) Faktoren, die alle kleiner oder gleich n sind, im Nenner jedoch k Faktoren, die alle n sind. Außerdem hast du noch die 1/k!, aber die kannst du als feste Zahl mehr oder weniger ignorieren. Darfst sie halt nicht vergessen.

Was passiert denn mit den n-k und k Faktoren, wenn du n erhöhst?

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hmm wenn n steigt steigen auch die Faktoren im Zähler an und die im Nenner Bleiben Gleich , weil k ja fest ist.

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Genauer kommt für n->n+1 im Zähler immer ein Faktor mehr hinzu, der zusammen mit n steigt, also kommt für n->unendlich sozusagen jedes Mal ein *unendlich hinzu. Im Nenner ändert sich von n^k auf (n+1)^k nicht viel. Da k ja fest ist, kommt in jedem Schritt "nur" ein Summand hinzu, der für n-> unendlich auch viel langsamer wächst. Genauer ist er nach dem binomischen Lehrsatz gleich $$\sum_{i=1}^k {k\choose i}n^{k-i}$$

Der Summand für i=0 ist dabei ja das n^k das wir schon im vorherigen Schritt hatten, also kommt der nicht noch einmal dazu.

Habt ihr schon gelernt, dass Fakultäten schneller als Exponentialfunktionen und diese wiederum schneller als Polynomfunktionen wachsen? Ansonsten müsstet du das vielleicht noch ausführlicher begründen.

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ah ok , das widerum heißt also es gibt keinen Grenzwert und die Folge divergiert?

Nein wir haben gerade erst angefangen mit Folgen , Der Übungszettel ist der Vo wie immer ein wenig Voraus :/.

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Genau das heißt es. Und VOs und Proseminare synchron zu halten ist nach eigenen Beobachtungen eine der größten ungelösten Mathematikprobleme des 21. Jahrhunderts.

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Halt.

Im Zaheler stehen genau k Faktoren, unaebhaengig von n. Und k ist nach Vorgabe fest.

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Stimmt, n-(n-k)=k, nicht n-k. Sorry. Okay, das ändert die Sache. Dann hast du nämlich (bis auf das feste 1/k!) im Zähler k Faktoren <= n und im Nenner k Faktoren =n. Dann hilft es vielleicht, dir den Grenzwert von je einem Faktor im Zähler mit einem im Nenner anzusehen.

Was gibt denn (n-i)/n für irgendein festes i zwischen 0 und k für n gegen unendlich?

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Naja laut dem was du zuvor gesagt hast , sind im Zähler k Faktoren und im Nenner auch , wobei die im Nenner größer gleich dem im Zähler das widerum heißt das die Folge gegen 1 geht wenman die Faktoren vernachlässigt die kleiner als n sind .

Bzw. das i wird keine role mehr spielen da n unendlich groß wird und n/n =1 ?

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Ja, jeder dieser k Faktoren geht gegen 1, also geht das Ergebnis gegen 1/k! * 1*1*...*1=1/k!. Für die Bildung des Grenzwertes kann man den Faktor 1/k! "ausklammern" (Grenzwert des Produkts ist Produkt der Grenzwerte), aber man muss ihn zuletzt wieder dazumultiplizieren. Dass der Faktor keinen Unterschied mehr macht, dachte ich, weil ich dachte, der Grenzwert gehe gegen unendlich. Nur bei unendlich oder Null als Ergebnis darf man einen Faktor weglassen.

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ah ok so funktioniert das also, also passt 1/k! als endergebnis dann?

Danke ! =)

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Ja, das stimmt dann so.