Grenzwert einer Reihe mit Fakultät und Binomialkoeffizienten berechnen

Question

brauche Hilfe bei dieser Reihe:

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { (ln(3))^{ k } }{ (k+1)! }  } (\begin{matrix} k+1 \\ k \end{matrix})$$

Danke schon mal:)

Comments

Hi, du könntest die Fakultät und den BinKo zusammenfassen. Ferner ist die Reihe monoton steigend, vielleicht lässt sie sich geeignet nach oben abschätzen.

Answer 1

Das hast Du bestimmt schon selber herausgefunden, nehme ich an:

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { (ln(3))^{ k } }{ (k+1)! }  } (\begin{matrix} k+1 \\ k \end{matrix}) $$
$$    {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}} $$
$$    {\binom {k+1}{k}}={\frac {(k+1)!}{k!\cdot ((k+1)-k)!}} $$
$$    {\binom {k+1}{k}}={\frac {(k+1)!}{k!\cdot 1!}} $$
$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { (ln(3))^{ k } }{ (k+1)! }  } \cdot {\frac {(k+1)!}{k!}} $$
$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { (ln(3))^{ k } }{ k! }  }  $$