Existenz von Grenzwerten überprüfen. xy/(e^{x^2} - 1) und (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2), (x,y) gegen (0,0)

Question

Man überprüfe folgende Grenzwerte auf Existenz:

$$\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x y } { e ^ { x ^ { 2 } } - 1 }$$

$$\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$$

Comments

laut wolfram alpha existieren die grenzwerte nicht, wie zeigt man das?

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  ich schreibe meine Meinung einmal unter Komentar.

  zu 1.) x*y / ( e hoch x hoch 2 - 1 ) = 0 / 0

 e hoch x hoch 2 schreibe ich als e^{2*x}.

  0 / 0 wäre ein Fall für L´hospital : ableitung zähler / ableitung nenner

  1* 1 / ( e^{2*x } * 2 - 1 ) = 1 / ( 2 - 1) = 1 ( Grenzwert )

  zu 2:) ( x^2 - y^2 ) / ( x^2 + y^2 ) = 0 / 0

  L´hospital : ( 2 * x - 2*y ) / ( 2*x + 2*y) = 0 / 0

  ein weiteres Mal : ( 2 - 2 ) / ( 2 + 2 ) = 0 / 4 = 0 ( Grenzwert )

  mfg Georg

Answer 1

Für den zweiten Grenzwert, setze y=mx.

Ist der Grenzwert dann nicht abhängig von m?

Was bedeutet das?