Werte von k berechnen so dass f streng monoton steigend. f (x) = 1/3 ( x^3 - x^ 2 + kx -1)

Question

Gegeben ist die Funktion f (x) = 1/3 ( x hoch 3 - x  hoch 2 + kx -1)

Jetzt ist die Frage: Für welche Werte von k ist die Funktion streng monoton steigend ( d.h. Hat keine Punkte mit waagerechten Tangenten)? Wie berechne ich das?

Lg

Answer 1

Ermittle die Bedingungen für k, sodass es keine Extremstellen gibt .

Comments

Wann gibt es keine Extremstellen?

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Rechne formal die Extremstellen aus.

Und schau dir die gefundene Formel an.

Wenn der Term unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine Extremstellen.

Answer 2

" ( d.h. Hat keine Punkte mit waagerechten Tangenten)"

ist das so in der Fragestellung? 

Wenn ja:

Berechne die 1. Ableitung und schaue, für welche k sie Nullstellen hat (bzw. nicht hat). 

f (x) = 1/3 ( x hoch 3 - x  hoch 2 + kx -1)

f ' (x) = 1/3 ( 3x^2 - 2x + k)  = 0

x1,2 = 1/6  ( 2 ± √( 4 - 12k))

Nun für keine Nullstelle:

4 - 12k < 0

4 <12k

1/3 < k

Für k > 1/3 hat die Kurve keine Horizontalstelle. 

Für k=1/3 hat die Funktion im Wendepunkt die Steigung 0. Das ist bei den meisten Definitionen von strenger Monotonie erlaubt.

Dann wäre k≥ 1/3 die Lösung. 

Comments

Ich habe mich die letzte 3/4 Stunde mit der Frage
auseinandergesetzt und bin auch soweit gekommen.

Jetzt bliebe aber noch zu zeigen das die Funktion
steigend ist. Fallend würde auch noch passen.

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Ein Nachweis wäre 2.Ableitung.
f ´´ ( x ) = 1/3 * ( 6x - 2 )
für x > 1/3 wäre der Wert positiv. Entspricht einer
Linkskrümmung und damit gehts aufwärts.

mfg Georg

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Weil der Koeffizient von x^3 = die Zahl 1/3 > 0 ist, und die Ableitung stetig und nie Null ist, kann sie auch nie kleiner als 0 sein.

EDIT: Ich sehe, dass du das mit deiner Rechnung nun bereits nachgewiesen hast.