Beweisen Sie: Für alle a,b∈ℕ gilt: Das Vielfache von a ist Teilmenge von b genau dann, wenn b|a

Question

Brauche Hilfe. Verstehe nur Bahnhof. :0

Beweisen Sie:

Für alle a,b∈ℕ gilt:

V(a) ⊆ V(b) genau dann, wenn b|a

mein erstes Fragezeichen entsteht dadurch, dass doch alle Vielfachen meist unterschiedlich sind und nur in einigen Elementen übereinstimmen. Bei der Teilmenge jedoch muss ja jedes Element von V(a) auch Element von V(b) sein. Das geht doch nur, wenn a und b die gleichen Zahlen sind oder?

Comments

Grade nicht. Das sollst du ja in dieser Aufgabe zeigen: Genau wenn b die Zahl a teilt sind alle Vielfachen von a auch Vielfache von b.

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Ahh Danke :) nehmen wir also das Beispiel 3|6 dann sind  alle Vielfachen von 6 auch Vielfachen von 3 V(6)={  6,12,18,24,30,36, 42..}  V(3)={3,!6,9,!12,15,!18...}

Es müssen also nicht zugleich auch alle Vielfachen von 3 Vielfache von 6 sein??

Und wie könnte ich das jetzt beweisen? :0

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Ich glaube, du missverstehst die Angabe. Alle Elemente von V(a) müssen auch in V(b) liegen heißt nicht, dass V(a) und V(b) die gleichen Mengen sein müssen. Es ist auch möglich, dass V(a) jedes zweite, jedes dritte oder irgendwelche Elemente von V(b) beinhaltet, aber nicht alle.

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Danke das habe ich jetzt verstanden :) dank der netten Hinweise nun verstehe ich schon mal die Aufgabe jetzt bräuchte ich nur noch Hilfe dabei, wie ich an den Beweis rangehen kann. ;)

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Um die Behauptung zu beweisen könntest du damit beginnen beide Richtungen der Äquivalenz einzeln zu zeigen.

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Mein Versuch eines Beweises. Hoffe es könnte sich ihn noch jemand anschauen :)

Wir setzen V(a)⊆V(b) voraus. Wir müssen zeigen: Dann gilt b|a. Wegen b|b gilt stets b∈V(b).

Da V(b)⊇ V(a) gilt damit auch b∈V (a).?? Die Zahl b gehört also zur Menge der Vielfachen von a, d.h. b|a 

???

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Nein, das gilt nicht. Es gilt \(a \in V(b)\).

Außerdem bezüglich deiner Logik: Warum sollte b ein Teiler von a sein, wenn es deiner Meinung nach ein Vielfaches von a ist?

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Ja da hast du Recht. Ich habe auch meinen Fehler bemerkt aber leider wusste ich nicht wie ich aus dieser Falschen Aussage etwas richtiges machen kann.

Wäre dies jetzt nun ein richtiger Beweis zumindest in die eine Richtung?

Wir setzen V(a)⊆V(b) voraus. Wir müssen zeigen: Dann gilt b|a. Wegen b|b gilt stets b∈V(b)?.

Da V(b)⊇ V(a) gilt damit auch a∈ V(b) Die Zahl b gehört also zur Menge der Vielfachen von a, d.h. b|a 

Bin leider echt eine Niete in Mathe .

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achso am Ende heißt es dann natürlich: Die Zahl a gehört also zur Menge der Vielfachen von b, d.h. b|a

Answer 1

ja mit dem letzten Kommentar macht es natürlich nun mehr Sinn :).

Der Teil

Wegen b|b gilt stets b∈V(b)?.

ist unnötig, kannst du also weglassen.

Gruß

Comments

juhu also ist die erste Richtung bewiesen?

Dann Versuche ich mit eurer Hilfe nun auch die andere Richtung :) Danke

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Ja die erste Richtung steht :).

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Beweis in die andere Richtung:

Wir setzen b|a voraus. Wir müssen zeigen: V(a)⊆V(b). Dies bedeutet, dass wir nachweisen müssen, dass jedes beliebige Element von V(a) auch ein Element von V(b) ist.

Für jedes v∈V(a) gilt v|a. Nach Voraussetzung gilt b|a, also gilt: (hier fehlt mir der entscheidene Schritt warum dies gilt.. wegen der Transitivität geht ja nicht, denn die besagt ja aus a|b und b|c folgt a|c hier ist ja die Sprache von b|a?) v|b, d.h. v∈V(b)

??

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Warum soll jedes v die Zahl a teilen? Ist es vielleicht nicht sogar umgekehrt? ;)

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achso stimmt das geht ja nicht ..eine kleinere Zahl kann ja nur eine größere Zahl teilen.

Also für jedes v∈V(a) gilt a|v und weil b|a gilt auch b|v(a).... wie komme ich jetzt darauf, dass v∈V(b) ist ? :(

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Du meinst "...gilt auch b|v" (du brauchst auf nichts mehr zu kommen), das bedeutet nach Definition, dass \(v\) ein Vielfaches von b ist ;).

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Super danke :) großartige Hilfe. Kann man die Frage oder eigene Kommentare wieder löschen?

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Man kann seine eigenen Beiträge nicht löschen. Höchstens editieren, dies allerdings auch nur eingeschränkt.