(i) ⇒ (ii) Sei B = {v1,...,vn} eine Basis.
Und sei vk einer davon. Dann ist vk nicht im Span ( B \ {vk}) ; denn
wäre vk darin, dann gäbe es eine Linearkombination der übrigen für vk, also
wäre vk mit den anderen zusammen linear abhängig, aber die Vektoren
einer Basis sind lin. unabh. Widerspruch !
(ii) ⇒ (i) Sei B ein im Sinne von (ii) minimales Erz.systen. Wären die Elemente
von B linear abhängig, dann gäbe es ein vk in B, das sich als Lin.komb der übrigen
schreiben lässt. Dieses vk wäre also im Span ( B \ {vk})und damit
Span ( B \ {vk})= Span ( B ). Im Widerspruch zu Span ( B \ {vk}) ≠ Span ( B ).
Also ist das Erz.syst. B lin. unabh. und damit eine Basis von V.
(i) ⇒ (iii) Sei B = {v1,...,vn} eine Basis. Und ( v1,...,vn, v ) eine Familie von
El. von V. Weil B ein Erz.syst. ist ,ist v als Linearkomb. der Elemente von B darstellbar
und damit ist die Familie lin. abh. Widerspruch zur Basiseigenschaft.
( iii) ⇒ (i ) Sei B = {v1,...,vn} eine im Sinne von (iii) maximale lin. unabh.
Familie in V. Wäre B keine Basis , dann wäre B kein Erz.syst. für V ; denn lin.
unabh. ist sie ja. Es gibt also v aus V und v ist nicht als Linearkomb. der El. von B
darstellbar. Da aber v1..vn lin. unabh. sind, ist damit auch (v1,...,vn, v ) lin. unabh.
Im Widerspruch zur Maximalität von B.
