a) E1 : x1 + x2 - x3 = 1; E2 : 4x1 - x2 - x3 = 3
für die Schnittgerade brauchst du einen Richtungsvektor und einen Stützvektor
\(\vec{a}\) (= Ortsvektor eines beliebigen Punktes A, der in beiden Ebenen liegt).
Als Richtungsvektor \(\vec{u}\) kannst du das Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren (oder ein beliebiges Vielfaches davon) nehmen:
\( \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}\) x \( \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix}\) → \(\vec{u}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\)
Für den gemeinsamen Punkt kannst in den Ebenengleichungen eine Koordinate Null setzen (z.B. x3 = 0)
und aus x1 + x2 = 1 (A) und 4x1 - x2 = 3 (B) die beiden anderen Koordinaten ausrechnen:
(A) → x2 = 1 - x1 , einsetzen in (B) → 4x1 - (1-x1) = 3 → 5x1 - 1 = 3 → x1 = 4/5
→ x2 = 1/5 → \(\vec{a}\) = \( \begin{pmatrix} 4/5 \\ 1/5 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Schnittgerade: \(\vec{x}\) = \(\vec{v}\) + λ • \(\vec{u}\)
\(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 4/5 \\ 1/5 \\ 0 \end{pmatrix}\) + λ • \( \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\)
b) analog
Gruß Wolfgang
