0 Daumen
274 Aufrufe

Hi,

folgende Aufgabe:

"Bestimmen Sie die Parameterform der Schnittgeraden der Ebenen:

E1: x-2y+4z+2=0

E2: 2x-3y+z-5=0"

Reicht es, wenn ich von der ersten Ebenengleichung die Richtungsvektoren herleite ... aber dann fehlt mir halt der Aufpunkt ... hier steh ich grad auf dem Schlauch.


Gruß

von

3 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Zunächst mal ist die Schnittgerade senkrecht zu beiden Normalenvektoren

[1, -2, 4] ⨯ [2, -3, 1] = [10, 7, 1]

Damit brauchst du nur noch einen Punkt. Du könntest z = 0 setzen und

x - 2·y + 4·z + 2 = 0
2·x - 3·y + z - 5 = 0

dann nach x und y lösen. Das ergibt: x = 16 ∧ y = 9 ∧ z = 0

Die gerade lautet also

X = [16, 9, 0] + r * [10, 7, 1]

von 285 k

Du könntest auch

x - 2·y + 4·z + 2 = 0 
2·x - 3·y + z - 5 = 0

in Abhängigkeit von z lösen

x = 10·z + 16
y = 7·z + 9

Man erhält

X = [16, 9, 0] + z * [10, 7, 1]

Das ist das gleiche wie oben.

Wie komme ich jetzt auf den Aufpunkt? Ich habe doch gar keine Punkte vorgegeben?

Oder hast du einfach irgendwelche Werte für x, y und z eingesetzt?

Ich wähle oben z = 0 und damit hat man ein LGS mit 2 Unbekannten. Darüber kann ich x und y ausrechnen und habe den aufpunkt. Mit veränderbarem z habe ich dann auch noch den Richtungsvektor der Geraden.

Okay soweit. Danke. Eine Frage noch: Hätte ich das Kreuzprodukt dann gar nicht bestimmen müssen bzw. nicht verwenden müssen, wenn ich den Richtungsvektor auch erhalte, indem ich das z verändere?

Richtig. Du brauchst hier das Kreuzprodukt nicht.

0 Daumen

E1: x-2y+4z+2=0

E2: 2x-3y+z-5=0"

Ich berechne wenn möglich Spurpunkte (= Schnittpunkte mit Koordinatenebenen) der Schnittgeraden. y = 0

E1: x+4z+2=0 (I)

E2: 2x+z-5=0    (II)

---------------------  (II) - 2*(I)

-7z - 9 = 0

-9/7 = z

x = -4z -2 = 36/7 - 14/7 = 22/7

P( 22/7, 0, -9/7)

z=0

E1: x-2y+2=0   (I)

E2: 2x-3y-5=0   (II)

----------------------  (II) - 2*(I)

(-3 + 4) y - 9 = 0

y = 9

x - 18 + 2 = 0

x = 16

Q(16, 9, 0)

g: r = (16, 9. 0) + t ( 16 -22/7, 9, 9/7)

g: r = (16, 9. 0) + t ( 90/7, 9, 9/7)

r = (16, 9. 0) + t ( 10, 7, 1)


Bitte selbst nachrechnen!

von 151 k
0 Daumen
Hi, das reicht natürlich nicht.

Ansonsten gibt es verschiedene Wege, die Aufgabe anzugehen. So könnte man etwa einen Normalenvektor zu den beiden Normalenvektoren der Ebenen aus den Koordinatengleichungen als Richtungsvektor der Schnittgeraden bestimmen. Dann bräuchte man noch einen Aufpunkt, den könnte man dadurch gewinnen, dass man eine der Variablen x, y oder z nach Belieben setzt und das Gleichungssystem aus den so vorbesetzten Koordinatengleichungen nach den beiden anderen Variablen auflöst.

Es geht aber auch anders.

Viel Spaß noch!
von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...