Zinsrechnung - Kaptial Konto

Question

Aufgabe: Das Anfangskapital K₀ wird auf einem Konto mit einen Zinsfuß von p% > 0 p.a. angelegt. Die Zinsen werden monatlich gutgeschrieben und nicht entnommen. Zum Ende jeden Monats wird die Rate R abgehoben.

(i). Bestimmen Sie das Guthaben K₁ nach einem Jahr.

(ii). Ab welchen Wert von K₀ sinkt das Guthaben K_t (nach t ∈ ℕ Jahren) nie unter Null ?

Answer 1

nach einem Monat  K = Ko*(1+p/12) - R

nach 2 Monaten  K = (Ko*(1+p/12)   -  R )(1+p/12)     - R )  =     Ko*(1+p/12) ^2 - R*(1+p/12) - R 

nach 3 Monaten  K=   (Ko*(1+p/12) ^2 - R*(1+p/12) - R ) (1+p/12)     - R  

                                 =  Ko*(1+p/12) ^3 -  R(1+p/12) ^2 - R*(1+p/12) - R

etc     also  K1 = Ko(1+p/12) ^12     -    R*( (1+p/12) ^11 + R*(1+p/12)^10 +......+1 )

mit geom Reihe:

  K1 = Ko(1+p/12) ^12    -  R *  (1+p/12) ^12  - 1 )  /  (p/12)

          = Ko(1+p/12) ^12    -  12*R *  (1+p/12) ^12  - 1 )