Komposition von Abbildungen, maximaler Definitions- und Wertebereich

Question

Hallo liebe Leute ,ich muss folgendes Bsp berechnen ,leider weiß ich nicht wei ich anfangen soll, da dass thema für mich komplett neu ist: Bitte um hilfe

Ich habe leider keinen Ansatz dazu,deshalb schreibe ich die Frage, ich bin weder zu faul noch sonst was ich veerstehe es einfach nicht

Es wäre das Bsp 1.4.3 c)d)

1.4.3 Berechnen Sie \( f \circ g \) und \( g \circ f \). Bestimmen Sie den maximalen Definitions-
und Wertebereich von  f, g, \(f \circ g, g \circ f\)

a) \( f(x)=x^{3}, \quad g(x)=\sqrt{x} \)
b) \( f(x)=\sqrt{x}-7, \quad g(x)=x^{4} \)
c) \( f(x)=\frac{7}{x^{2}-4}, \quad g(x)=\frac{1}{x} \)
d) \( f(x)=3+\sqrt{x}, \quad g(x)=(x-3)^{2} \)
e) \( f(x)=x+1, \quad g(x)=x^{2}+2 x+1 \)
f) \( f(x)=x-3, \quad g(x)=x^{2}+2 \)
g) \( f(x)=\log (x-1), \quad g(x)=x^{3}+1 \)

Comments

Das Thema ist Komposition von Funktionen/Abbildungen. Inverse Funktionen werden hier gar nicht gesucht. Die Überschrift habe ich dementsprechend mal geändert.

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Bitte um Hilfe stehe echt an ,bzgl diesem Thema :S

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Hast du a) und b) schon gemacht? Wenn ja, wo genau ist jetzt das Problem bei c) und d)?

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nein wir haben nur diese auf und das ist das erste bsp zu dem thema

Answer 1

der maximale Defininitionsbereich D einer Funktion ist die Menge aller x-Werte, bei deren Einsetzung sich ein sinnvoller mathematischer Rechenausdruck ergibt. (Es darf dabei zum Beispiel kein Nenner eines Bruches = 0 und kein Term unter einer Wurzel negativ werden, Terme in einem log müssen positiv sein.)

Der Wertebereich W einer Funktion ergibt sich, wenn du (gedanklich) alle Punkte des Graphen parallel zur x-Achse auf die y-Achse "schiebst". Dafür brauchst du eine Vorstellung von dem Graph.

Die Komposition  f o g ist definiert, wenn der Wertebereich der zuerst ausgeführten Funktion (hier g) im Definitionsbereich der zweiten Funktion liegt.

Die Funktionsvorschrift von f o g  ist   f o g ((x) = f(g(x)). der Funktionsterm von g wird also für x in die Vorschrift von f eingesetzt.

Am Beispiel d)

 f(x) = 3 + √x  ,  D_f = ℝ₀⁺ ,    W_f  = [3;∞[  

g(x) = (x-3)²  ,   D_g = ℝ    ,    W_g = ℝ_o⁺ 

W_g ⊆ D_f  →   f o g : D_g → W_f ,   x ↦ f(g(x)) = 3 + √(x-3)² = 3 + |x-3|

W_f ⊆ D_g  →   g o f : D_f  → W_g ,  x ↦ g(f(x)) = (3+√x - 3)² = (√x)² = x

Gruß Wolfgang