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Sei α ∈ ℝ \ {0,1}.

Zeigen Sie, dass es ε12 > 0 gibt, so dass auf (-ε12 ) die Lösung des Anfangwertproblems
x' = x + txα , x(0) = x0 > 0 existiert.

Geben Sie die Lösung explizit an (ε1 und ε2 müssen nicht explizit bestimmt werden)

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das ist eine Bernoulli Differentialgleichung die folgendermaßen definiert ist

$$ y' + g(t) y + h(t) y^\alpha = 0 $$ Diese Gleichung lässt sich in eine lineare Differentialgleichung für die transformierte Größe

$$ z = (1-\alpha)y^{-\alpha} $$ umformen.

Man erhält, $$ z' + (1-\alpha) g(t) + (1-\alpha)h(t) = 0 $$

In Deinem fall gilt, \( g(t) = 1\) und \( h(t) = t \)

D.h. Du musst folgendes inhomogene lineare Problem lösen

$$ z' + (1-\alpha) z +(1-\alpha) t = 0 $$

Wenn Du die Lösung gefunden hast musst Du noch die Rücktransformation machen.

Die Anfangsbedingung muss natürlich ebenfalls transformiert werden.

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