Exponentialfunktion berechnen

Question

Ich habe eine Frage. Und zwar steht in meiner Aufgabe "Berechnen Sie" :

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2k+1 }{ k^ 2*(k+1)^ 2 }  } $$

soweit ich das verstehe meinen die mit berechnen dass da nachher am Ende irgendwas mit exp(x) stehen soll und ich es dann mit der eulerschen Zahl ausdrücke.....(war zumindestens bei a) so )
Nur mein Problem ist, dass ich den Ausdruck nicht in die exp Form bekomme.
Meine Idee war erstmal ein Indexshift so dass ich schonmal k=0 habe :

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 2k }{ (k-1)^ 2*(k)^ 2 }  } $$

und dann dass k kürze :

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 2 }{ (k-1)^ 2*k }  } $$

nur jetzt kann ich ja nur noch vereinfachen im Nenner :(

Wäre nett wenn einer noch eine andere Idee hat :)

Comments

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2k+1 }{ k^ 2*(k+1)^ 2 }  }  $$

Du hast die $-Zeichen vergessen.

Ich ergänze das mal.

Answer 1

Mit exp. hat das - glaube ich - nicht viel zu tun.

Das sieht mir eher nach Partialbruchzerlegung aus.

schreibe den Term als Summe zweier Brüche mit Nenner k^2 und (k+1)^2

und benutze das Teleskopsummenprinzip.

Comments

Das klappt übrigens prima, der Term in der Summe ist
1 / k^2  -   1 / (k+1)^2 
also machst du daraus 2 Summen
$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac {1 }{ k^ 2 }} - \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac {1 }{ (k+1)^ 2 }}  $$
und wenn du das mal etwas hinschreibst
1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ....  -   (   1/4  + 1/9  + 1/16 .... )
Dann siehst du, dass sich fast alles weghebt, nur  1 übrigbleibt.
Also hat die Summe den Wert 1.

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Super Dankeschön, an Partialsummenzerlegung hab ich noch gar nicht dran gedacht ...

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Eine kleine Frage noch wie hast du dass mit der Parzialbruchzerlegung gemacht ? Ich brauche die Nullstellen von meinem Nenner oder nicht?

Ps: unser Prof sieht Parailbruchzerlegung als Voraussetzung an und ich hatte dass leider och nie ,sprich nicht mein Fachgebiet .... :(

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für die Partialbruchzerlegung machst du einen Ansatz der Art

(ak+b)/ k^2   +  ( ck+d) / (k+1)^2   
(weil die Nenner quadratisch sind bei linearen würde sowas wie  a / (k+1) genügen)

und bringst dann beides auf einen Bruchstrich

(k+1)^2 (ak+b) + ( ck+d)*k^2  ist dann der Zähler

das rechnest du aus und vergleichst mit dem gegeben Zähler 2k+1

das gibt dann

a+c=0 ^  2a+b+d = 0  ^  a+2b=2  ^   b=1

also letztlich a= 0   b=1    c=0    d=-1 und dann hast du es.