In welchen Punkten der Funktion y=(1/3)(x^3)-x verlaufen die Tangenten parallel zur Geraden y=(1/4 x)-2

Question

y=(1/3)(x^3)-x  Funktion

y=(1/4x)-2 Gerade

Die Lösung ist P1 (1,12;-0,65) P2(-1,12;0,65)

wie geht man vor?

Answer 1

"Die Tangente einer Funktion ist parallel zu einer Gerade"

Parallelität bedeutet das beide Funktionen die gleiche Steigung haben.

Die Steigung bekommt man über die erste Ableitung.

 

1) Ableitung von 1/3)(x³)-x bilden

=> f' = x² -1. (Muss ich das jetzt vorrechnen?)

2) Ableitung von (1/4x)-2

=> f' = 1/4

 

3) jetzt Gleichsetzen

d.h. 1/4 = x²-1 

=> 1/4 = x²-1      | +1

=> 1,25 = x²

=> x = √(1,25)

=> x = ±1,1180 (oder Gerundet ±1,12)

 

Einsetzen in f(x) [=(1/3)(x³)-x]  füht zu y= -0,6522 bzw. 0,6522

d.h. die Punkte liegen bei (-1,1180; -0,6522) und (1,1180; 0,6522)

Answer 2

Lösbar :-)

Damit die Tangenten der Funktion parallel zur Geraden verlaufen, müssen ihre Steigungen der Steigung der Geraden entsprechen.
Die Steigung der Geraden f(x) = 1/4*x-2 ist f'(x) = 1/4

Nun müssen wir also die Stellen der Funktion finden, die ebenfalls die Steigung 1/4 haben. Die erste Ableitung
der Funktion lautet: f(x) = x^2 - 1

Also ist gefragt:
x^2 - 1 = 1/4

x^2 = 1/4 + 1 = 5/4

Wurzelziehen ergibt die x-Werte
x1 = 1,12 und x2 = -1,12 (beide Werte gerundet)

Diese x-Werte muss man in die Funktionsgleichung einsetzen, um f(x) zu erhalten:
f(1,12) = 1/3 * 1,12^3 - 1,12 = -0,65 (wieder gerundet)

und
f(-1,12) = 1/3 * -1,12^3 + 1,12 = 0,65     -     und schon wieder gerundet :-)