Lösen von 9^x-2*3^x=11 und integrieren von e^{1-2x}

Question

1. Berechne Integral(0, ln(WURZEL(2)) e^{1-2x} dx
Wie kann ich hier vorgehen?

2. Löse:

9^x - 2 * 3^x = 11 .

=> mit logarithmus aber wie ??

Comments

Hi, wegen 9=3^2 ist das eine quadratische Gleichung in 3^x.

Answer 1

Hi,

1.

∫₀^ln(√2) e^(1-2x) dx = [-1/2*e^(1-2x)]₀^ln(√2) =-1/2*e¹-(-1/2*e^(1-ln√2))=e/4≈6,80

 

2.

Nutze die Substitution:

9^x-2*3^x=11

3^{2x}-2*3^x=11

Substitution 3^x=u

u^2-2u-11=0

pq-Formel

u₁=1-2√3

u₂=1+2√3

 

Resubstitution (u₁ fällt dabei aus -> wird negativ)

3^x=1+2√3

xln(3)=ln(1+2√3)

x=ln(1+2√3)/ln(3)

 

Grüße

Comments

danke schonmal:


bei mir komme ich auf :    -1+Wurzel(12)
kann dies sein??

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Bei welcher Aufgabe denn?

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und bei 1. komme ich auf :


(-1/2 * e^{1-ln(2)})
kann man dies noch kürzen???

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hier aufgabe 2.  -1 + WURZEL(12)

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Kann man inder Tat, wenn man die Potenzgesetze berücksichtigt.

 

(-1/2 * e^1-ln(2))=(-1/2 * e^1*e^{-ln(2)})=-1/2 * e^1*1/2=-1/4*e

 

Du kannst folgen? ;)

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bei e^{-ln(2)} wie kürzt man dies ? bekommt man nicht -2 über da ln e in der Basis hat ?

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Nein,

beachte, dass Du e^{-ln2} auch also 1/e^{ln2} schreiben kannst.

oder e^{-ln2} also e^{-1*ln2} ;).

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Ich sehe gerade noch Deine andere Frage:

hier aufgabe 2.  -1 + WURZEL(12)

Nein, es müsste +1+WURZEL(12) sein. Kontrolliere da nochmals Deine pq-Formel.

Sonst ist das aber nichts anderes (zumindest ein Teil davon) wie ich oben stehen habe. Ich habe noch teilweise radiziert -> √12=2√3 ;)

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ok, warum weiss man,dass e^{-ln(2)} = 1/2 ist ??

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Hast Du beide Beiträge von mir gesehen? Habe einen Doppelbeitrag geleistet.


Wenn man erste Zeile herannimmt (diese ist intuitiver) brauchts 1/e^{ln2} nur noch zu 1/2 zu vereinfachen, da e und ln sich gegenseitig aufheben ;).


Klar? ;)

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ach so , vielen dank schonmal, bei der andere Aufgabe habe ich noch eine Frage:


Also ich komme nun auch auf :   1 + WURZEL(12)
1. Frage:  Warum kommt das  1 - ..... nicht vor ??

2. Frage:  Wenn ich nun 3^x = 1 + WURZEL(12) setzen muss , dann muss man den log verwenden.

kann man hier durch log( zur basis 3 rechnen ) damit x nur links steht ??  wie müsste es auf der rechten Seite auschauen?

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1. Frage: Generell ist das auch eine Lösung. Du verwendest aber nun bei der Resubstitution den Logarithmus. Da aber 1-WURZEL(12) negativ ist (nämlich etwa -2,46) ist das nicht definiert und fällt aus.

 

2. Frage: Ja, das ist möglich. Du kannst auch den Logarithmus zur Basis 3 nehmen. Zwar richtig und hier in der Tat einfacher zum Aufschreiben, würde aber dennoch behaupten, dass das eher unüblich ist. Normal nutzt man ln oder lg.
Deins ist aber wie gesagt richtig und hier eigentlich sogar schöner:

3^x=1+√12

x=log₃(1+√12)  (=ln(1+√12)/ln(3))

 

;)

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Ok , vielen Dank für die ausführliche Erklärung !!!

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Freut mich, wenns verstanden wurde :).

Gerne