Question

Bestimmen Sie Cov(X, X^2) und Var(X(1−X)), falls X exponential-verteilt auf R₊ zum Parameter λ > 0 ist.

Answer 1

Hi,Nach den bisherigen Kommentaren sieht das für mich so aus:
$$ Cov(X,X^{2})=E[(X-E(X))*(X^{2}-E(X^{2}))]=E[(X-\frac{1}{\lambda})*(X^{2}-\frac{2}{\lambda^{2}})]=E[X^{3}-\frac{1}{\lambda}X^{2}-\frac{2}{\lambda^{2}}X+\frac{2}{\lambda^{3}}]=E(X^{3})-\frac{1}{\lambda}E(X^{2})-\frac{2}{\lambda^{2}}E(X)+\frac{2}{\lambda^{3}}=\frac{6}{\lambda^{3}}-\frac{1}{\lambda}*\frac{2}{\lambda^{2}}-\frac{2}{\lambda^{2}}*\frac{1}{\lambda}+\frac{2}{\lambda^{3}}=\frac{6}{\lambda^{3}}-\frac{2}{\lambda^{3}}-\frac{2}{\lambda^{3}}+\frac{2}{\lambda^{3}}=\frac{4}{\lambda^{3}} $$

Ich hoffe das stimmt so...

Comments

Sieht richtig aus, aber es fehlt die Varianz von X(1 - X).

Answer 2

Hi,

keine Ahnung ob das korrekt ist.

Cov(X,X²)= E[(X-E(X))*(X²-E(X²))] = E[X - (1/lamda)*(X² - (1/lambda²)]

= E[ X³ - (1/lambda²)*X - (1/lambda)*X² + (1/lambda³)]

= 1/lambda³ - 1/lambda³ - 1/lambda³ + 1/lambda³ = 0

Man müsste eventuell auch noch zeigen, dass 1/lambda der Erwartungswert einer exp- verteilten ZV ist.

Comments

Hallo jojomojo10,

der Anfang ist richtig. Aber du müsstest dir nochmal überlegen wie E[X^k] definiert ist.

mfg sigma

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Hallo sigma,

Ja ich hatte mir gedacht dass der Teil falsch ist.

Es müsste gelten: E(X²) = Var(X) - E(X)² = 1/lambda² - 1/lambda² = 0

Man müsste das dann richtig einsetzen, aber die Endlösung bleibt gleich.

Ist das richtig so?

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Nein,stimmt nicht

.E(X²) = Var(X) + E(X)² 

Aber was ist E(X³)?

Du wendest doch die Linearität des Erwartungswertes in der vorletzten Zeile auf den Ausdruck an.

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Ups,

dann ist E(X²) = 2/lambda².

Bei E(X³) hab ich echt keine Ahnung. Ich würde mal vermuten E(X*X²) = 2/lambda³. Denke aber, dass das so nicht ganz korrekt ist.

Könntest du da weiterhelfen?

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Schau mal bei wikipedia Exponentialverteilung unter höhere Momente.

Answer 3

zunächst kann man mal die ersten drei Momente von \( X \) mit Hilfe der momentenerzeugenden Funktion \( m_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda-t} \) bestimmen.

Es ist \( \mathbb{E}[X] = \frac{d}{dt} m_X(t) \mid_{t = 0} = \frac{1}{\lambda} \),

\( \mathbb{E}[X^2] = \frac{d^2}{dt^2} m_X(t) \mid_{t = 0} = \frac{2}{\lambda^2} \),

\( \mathbb{E}[X^3] = \frac{d^3}{dt^3} m_X(t) \mid_{t = 0} = \frac{6}{\lambda^3} \)

oder allgemein \( \mathbb{E}[X^k] = \frac{k!}{\lambda^k} \).

Für die Kovarianz gilt

\( Cov(X, X^2) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(X^2 - \mathbb{E}[X^2])] \)

\( = \mathbb{E}[(X - \frac{1}{\lambda}) (X^2 - \frac{2}{\lambda^2})] \)

\( = \mathbb{E}[X^3 - \frac{1}{\lambda}X^2 - \frac{2}{\lambda^2}X + \frac{2}{\lambda^3}] \)

\( = \frac{6}{\lambda^3} - \frac{2}{\lambda^3} - \frac{2}{\lambda^3} + \frac{2}{\lambda^3}\)

\( = \frac{4}{\lambda^3} \).

Es ist weiter

\( Var(X(1-X)) = Var(X - X^2) = Var(X) + Var(-X^2) + 2Cov(X, -X^2) \)

\( = Var(X) + Var(X^2) - 2Cov(X, X^2) \)

\( = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 + \mathbb{E}[X^4] - \mathbb{E}[X^2]^2 - \frac{8}{\lambda^3}\)

\( = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} + \frac{24}{\lambda^4} - \frac{4}{\lambda^4} - \frac{8}{\lambda^3} \)

\( = \frac{1}{\lambda^2} + \frac{20}{\lambda^4} - \frac{8}{\lambda^3} \).

Mister