Punkte der Ellipse zeichnen

Question

 Die Menge \( E ={( (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+4y^2=4})\)   beschreibt

eine Ellipse. Bestimme denjenigen Punkte auf E, die zu dem Punkt \(P_c= (c,0) , 0 < c < 2\), minimalen Abstand haben. Zeichne die gesuchte Punkte fur die Fälle

c=3/4 und c= 9/5

Answer 1

Die Entfernung von Pc zu Q(x;y) ist

d= wurzel ( (x-c)^2 + y^2 ) und weil x^2 + 4y^2 = 4 ist  y = 1 - x^2 / 4 also

d = wurzel ( (x-c)^2 +  1 - x^2 / 4 )  Das ist minimal, wenn der Radikand minimal ist,

also bleibt zu betrachten

f_c(x) = (x-c)^2 +  1 - x^2 / 4   mit konstantem c aus ] 0 ; 2 [ .

        =  (3/4)x^2 - 2cx + c^2 + 1

f_c' (x) = (3/2)x - 2c   Das ist 0 für  x = 4c/3

f_c ' '(x) = 3/2 > 0 also ist bei    x = 4c/3ein Min. Und dieses ist das

einzige, also absolut.

Die Punkte auf der Ellipse sind wegen der Symmetrie zur x-Achse also

Q1( 4c/3 ; √(1-4c^2/9) )  und Q2( 4c/3 ;  -√(1-4c^2/9) ) .

Comments

Für c=1 sieht das so aus:
~plot~sqrt(1-x^2/4);-sqrt(1-x^2/4);{1|0};{4/3|0.7453};{4/3|-0.7453}~plot~