Punkte der Ellipse bestimmen?

Question

Aufgabe:

Bestimme Sie die Punkte der Ellipse die den maximalen und den minimalen Abstand vom Koordinatenursprung haben.

ε = { (x,y) ∈ ℝ^2 | 3x^2 + 2xy + 3y^2 -16 = 0 } 

Problem/Ansatz:

Wie bestimmt man diese Punkte?

Comments

Ich würde davon ausgehen, dass es vier Punkte sind.

Answer 1

Hallo,

Wie bestimmt man diese Punkte?

rein rechentechnisch wohl am einfachsten mit der Methode nach Lagrange. Setzt voraus, dass Du schon mal davon gehört hast.

Haupt- und Nebenbedingung sind:$$x^2+y^2 \to \operatorname{opt}\quad \text{NB.:}\space 3x^{2} + 2xy + 3y^{2} -16 = 0$$Lagrangegleichung aufstellen und ableiten:$$L(x,\,y,\,\lambda) =x^2+y^2 + \lambda(3x^{2} + 2xy + 3y^{2} -16)  \\L_x = 2x + \lambda (6x+2y) \to 0 \\ L_y = 2y + \lambda(2x + 6y) \to 0$$Und nach Elimination von \(\lambda\) folgt daraus$$\begin{aligned}y(6x+2y) &= x(2x + 6y) \\ 6xy + 2y^2 &= 2x^2 + 6xy \\ y^2 &= x^2  \\\implies &6x^2 \pm 2x^2 - 16= 0 \\ \implies &(x,\,y)_{1,2} = \pm (\sqrt 2,\,\sqrt 2)\\\implies &(x,\,y)_{3,4} = \pm (2,-2)\end{aligned}$$und so sieht der Graph dazu aus:

Gruß Werner

Answer 2

Aloha :)

Du sollst die Extrema des Abstandes$$d(x;y)=\left\|\binom{x}{y}-\binom{0}{0}\right\|=\sqrt{x^2+y^2}$$unter der konstanten Nebenbedingung bestimmen:$$E(x;y)=3x^2+2xy+3y^2\stackrel!=16=\text{const}$$

Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da hier nur eine Nebenbedingung vorliegt, ist die Situation sehr übersichtlch:$$\operatorname{grad}d(x;y)=\lambda\operatorname{grad}E(x;y)\implies\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\binom{x}{y}=\lambda\binom{6x+2y}{2x+6y}$$

Wir dividieren die 1-te Koordine durch die 2-te:$$\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}x}{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}y}=\frac{\lambda(6x+2y)}{\lambda(2x+6y)}\implies\frac xy=\frac{3x+y}{x+3y}\implies\frac{x^2+3xy}{y(x+3y)}=\frac{3xy+y^2}{y(x+3y)}\implies$$$$x^2+3xy=3xy+y^2\implies x^2=y^2\implies \underline{\underline{y=\pm x}}$$

Diese Lagrange-Forderung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$y=x\implies 16\stackrel!=E(x;x)=8x^2\implies x=\pm\sqrt2\implies y=x=\pm\sqrt2$$$$y=-x\implies 16\stackrel!=E(x;-x)=4x^2\implies x=\pm2\implies y=-x=\mp2$$

Es gibt also 4 Punkte mit extremalem Abstand:

$$P_1(+\sqrt2;+\sqrt2)\implies d(\vec p_1)=2\implies\text{Minimum}$$$$P_2(-\sqrt2;-\sqrt2)\implies d(\vec p_2)=2\implies\text{Minimum}$$$$P_3(-2;2)\implies d(\vec p_3)=4\implies\text{Maximum}$$$$P_4(2;-2)\implies d(\vec p_4)=4\implies\text{Maximum}$$

Comments

In Polarkoordinaten :

3(r*cos φ)^2 + 2(r*cos φ * r*sin φ) + 3(r*sin φ)^2 = 16
r^2*(3 + 2*cos φ * sin φ) = 16
r^2  =  16 / (3 + 2*cos φ * sin φ)
dr^2 / dφ  =  -16 / (3 + 2*cos φ * sin φ)^2 * 2*(cos^2 φ - sin^2 φ)

dr^2 / dφ  =  0  ⇔  cos^2 φ = sin^2 φ  ⇔  cos φ * sin φ = ±1/2 
⇔  r^2  =  16 / (3 ± 1)  ∈  {4 ; 8}  und  φ = kπ/4 mit k ∈ {1 ; 3 ; 5 ; 7}

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Das ist eine gute Lösung ohne Lagrange, und sogar verständlich geschrieben.

Warum stellst du sie nicht als eigene Antwort ein?

Answer 3

\(f(x,y)=3x^2 + 2xy + 3y^2 -16 \)
\(f_x(x,y)=6x + 2y \)→ \(6x+ 2y=0 \) → \(y=-3x \) → \(m_1=-3 \)
\(f_y(x,y)=2x+6y \)→ \(2x+ 6y=0 \) → \(y=-\frac{1}{3}x \)→ \(m_2=-\frac{1}{3} \)
1. Winkelhalbierende:
\(m_1\cdot m_2=-\frac{1}{3}\cdot(-3)=1\)
\(f(x)=x\)
Schnitt mit \(3x^2 + 2xy + 3y^2 =16 \):  \(8x^2 =16 \) 
\(x_1=\sqrt{2}\)     →\(y_1=\sqrt{2}\)     Koordinate:   \(D(\sqrt{2}|\sqrt{2})\)

\(x_2=-\sqrt{2}\)   →\(y_2=-\sqrt{2}\)    Koordinate: \(C(-\sqrt{2}|-\sqrt{2})\)

Die Punkte C und D haben Minimalabstand vom Ursprung.

Die Nebenachse hat eine Länge von  \(l_1=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{4}=2\)

2.) Winkelhalbierende steht senkrecht auf der  1. Winkelhalbierenden:

\(f(x)=-x\)

Schnitt mit \(3 \cdot x^2 + 2x y + 3 y^2 =16 \):

\(3 \cdot x^2 + 2x \cdot (-x) + 3\cdot (-x)^2 =16 \)

\(3 \cdot x^2 -2x^2+ 3\cdot x^2 =16 \)  → \(4x^2=16 \)

\(x_1=2\)    →\(y_1=-2\)   Koordinate: \(B(2|-2)\)

\(x_2=-2\)  →\(y_2=2\)   Koordinate: \(A(-2|2)\)

Die Punkte A und B haben Maximalabstand vom Ursprung.

Die Hauptachse hat eine Länge von \(l_2=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

Diese Ellipse ist um \(135°\) aus der Hauptlage heraus gedreht worden, wobei \(l_1<l_2\) ist.