Gegeben sind die Funktionen f(x)= ✔x (wurzel x) und g(x)= 1/x

Question

wie ihr im Titel seht könnt, habe ich beide Funktionen gegeben.

1.Wie lauten die Gleichungen der Tnagenten von f und g m Schnittpunkt der beiden Graphen?

2. Unter welchem Winkel scheiden sich f unf g?

die beiden scheniden sich im punkt (1/1) aber wenn ich überprüfe ob sie an der stelle x 1 die gleiche steigung haben, komme ich nicht auf das gleiche ergebnis. Woran liegt das?

f ' (x)= 0,5*x^-0,5

g ' (x)= -1*x^-2

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Das liegt daran, dass sie (also f und g) auch gar nicht die gleiche steigung haben müssen, sonst wäre der winkel ja 0°. Wenn sie sich schneiden, haben sie keinesfalls automatisch die gleiche steigung! sonst würden sie sich ja nicht schneiden, sondern berühren. ;)

Answer 1

der Punkt (1;1) ist korrekt, berechne für jede Funktion einzeln den Anstieg an der Stelle x=1, über den Tangens bekommst für für jede Funktion den Anstiegswinkel, der Schnittwinkel sollte dann kein Problem werden

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Dankeschön, es hat nun alles geklärt ! :D

Answer 2

f(x) = √x

f'(x) = 1/(2·√x)

g(x) = 1/x

g'(x) = - 1/x²

Schnittstelle f(x) = g(x)

√x = 1/x --> x = 1

Tangenten

f(1) = 1

f'(1) = 1/2

tf(x) = f'(1)·(x - 1) + f(1) = 0.5·x + 0.5

g(1) = 1

g'(1) = - 1

tg(x) = g'(1)·(x - 1) + g(1) = 2 - x

Schnittwinkel

α = ATAN(f'(1)) - ATAN(g'(1)) = 71.57°

Rechne alles selber nach und fertige dann selbst mal eine Skizze an.

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Danke ich bin es selber nochmal durchgegangen und bin auf das gleich ergebnis gekommen.

wie man 1. also Wie lauten die Gleichungen der Tnagenten von f und g im Schnittpunkt der beiden Graphen?

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y = 0.5·x + 0.5

und

y = 2 - x

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Für die Funktion f(x)=1/x kennst du den Anstieg an der Stelle x=1, der beträgt -1, somot kennst du schon m=-1 (der Anstieg der Tangente)

y=m*x+n

y=-1*x+n

weiterhin kennst du den Punkt (1;1), der gehört zur Tangente

1=-1*1+n

n=2

analog die andere Funktion

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Dankeschön, es hat nun alles geklärt ! :D

Answer 3

Hallo Plya,

warum sollten die Steigungen im Punkt (1|1) gleich sein? Das wäre nur der Fall, wenn die Funktionen dort eine gemeinsame Tangente hätten, sich dort also berühren würden.

Mit der Punkt-Steigungsformel    y = m • ( x - x_p ) + y_p kann man die Gleichung einer Geraden durch P(x_p | y_p) mit der Steigung m ausrechnen.

Tangentengleichungen:

t_f (x)  =  f '(1) • (x - 1) + 1 =....    = 1/2 x + 1/2

t_g(x)  =   g'(1) • (x-1) + 1  = ....   =  - x + 2

Den Schnittwinkel α erhält  man aus  tan(α) = | $\frac{f '(1)-g'(1)}{1+f '(1)·g'(1)}$ |  = ....  → α ≈ 71,6°

[ die Formel  tan(α) = | $\frac{m_2-m_1}{1+m_1· m_2}$ |  für den Schnittwinkel zweier Geraden hat den Vorteil, dass sie  (mit tan^-1) immer direkt den Schnittwinkel der Geraden angibt, egal wie diese zueinander verlaufen. ]

Gruß Wolfgang

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