gaus algorithmus mit variable rechnen

Question

könnt ihr mir irgendwie bei dieser Aufgabe behilflich werden? Ich habe es geschafft unten links (2. + 3. Reihe) je eine Null zu erzeugen aber die dritte Null will einfach nicht rauskommen, was mache ich falsch? Bitte helft mir und keine komplzierten Rechenwege weilich es dann sowieso nicht verstehe!

Answer 1

a·x + y + 2·z = 1

x - y + z = 0

2·x - y + a·z = -1

II + I ; III + I

x·(a + 1) + 3·z = 1

x·(a + 2) + z·(a + 2) = 0 --> x + z = 0 für a <> 2 für a = 2 hat man ein Freiheitsgrad

3*II - I

x·(2 - a) = -1 --> x = 1/(a - 2)

1/(a - 2) + z = 0 --> z = 1/(2 - a)

1/(a - 2) - y + 1/(2 - a) = 0 --> y = 0

Comments

Dankee, steige da aber nicht wirklich durch :(

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 Bis hier hin komme ich aber weiter gehts dann nicht. Die dritte null bekommme ich einfach nicht raus.

Answer 2

a·x + y + 2·z = 1

x - y + z = 0

2·x - y + a·z = -1  gibt die Matrix

a      1       2   |  1        
1     -1      1   | 0      +1. Zeile
2     -1      a  |  -1     + 1. Zeile

a           1       2   |  1        
a+1       0       3   |  1      
a+2       0     a+2  |  0   

Hier siehst du schon: Für a=-2 sagt die letzte Zeile

nur 0*x + 0*y + 0*z = 0 also für beliebige x,y, z  erfüllt.

wählte man etwa für z einen Wert, kann man mit der 2. Zeile x ausrechnen

und dann mit der ersten auch y.  Also gibt es in diesem Fall

(weil man z beliebig wählen kann) unendlich viele Lösungen.

Sei nun a ungleich 2:

dann formt man weiter um mit

3. Zeile   * - 3   und + 2. Zeile * (a+2)
und hat dann

a               1       2       |  1        
a+1           0       3      |  1      
a^2 -4        0        0    |  a+2

wenn nun  a^2 -4 = 0 ist heißt das   0 * x = a+2
Nun ist aber    a^2 -4 = 0 nur für a=2 oder a=-2
Den Fall  a= - 2 hatten wir schon
und für a= +2 steht in der letzten Zeile  0*x = 4
also gibt es dann KEINE Lösung.

Bei allen anderen Fällen liefert die 3. Zeile ein
Ergebnis für x und und die anderen beiden Zeilen dann etwas
für y und z. Also ist es dann eindeutig lösbar.

Falls du das Rangkriterium kennst:
Rang ( A ) = Rang ( A _erw )   etc.  kannst du noch einfacher
argumentieren.

Comments

U Ich verstehe das alles an sich ja auch aber ich bekomme nur einfach keine null Raus.

Hier müsste eine Null rauskommen. Es kommt aber keine raus. Was mache ich falsch?