Umkehrfunktion bilden und beweisen, dass sie bijektiv ist

Question

Weisen Sie nach, dass die Funktion \( f:[0, \sqrt{2}) \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( f(x)=\frac{x^{4}}{2-x^{2}} \)

bijektiv ist.

Geben Sie den Wertebereich \( W \subseteq \mathbb{R} \) von \( f \) an, und berechnen Sie die Umkehrfunktion \( f^{-1}: W \rightarrow \) \( [0, \sqrt{2}) \).

Berechnen Sie auferdem den Funktionswert \( \left(f^{-1}\right)^{\prime}\left(y_{0}\right) \) der ersten Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle \( y_{0}=1 \)

(a) durch direktes Einsetzen von \( y_{0} \) in \( f^{-1} \)

(b) sowie durch Verwendung des Satzes ïber die Ableitung der Umkehrfunktion.

Hinweis: Bei der Auflösung der Gleichung \( f(x)=y \) nach \( x \) entsteht als Zwischenschritt eine Gleichung der Form \( h(x)=0 \), wobei \( h \) ein Polynom vom Grad 4 ist. Lösen Sie diese Gleichung durch eine geeignete Substitution, und überlegen Sie, welche der erhaltenen Lösungen von Interesse ist.

Answer 1

bijektiv stimmt nicht, weil bei dem Definitionsbereich

keine negativen Funktionswerte entstehen

aber mit W = [ 0 ; unendlich [ ist es bijektiv, denn

Es ist  f ' (x) = -2x^3 * (x^2-4) / ( x^2-2)^2

im inneren des vorgegebenen Def,bereichs immer positiv,

also f streng monoton steigend.

und f(0) = 0 und für x gegen unendlich ist der Grenzwert

von f auch unendlich und f ist stetig, also surjektiv.

x^4 / ( 2-x^2 ) = y

x^4 = 2y - x^2 y

x^4 + yx^2 - 2y = 0 Subst. mit z = x^2

z^2  + yz - 2y = 0

z = -y/2 ±   wurzel ( y*(y+8)/4 )

also x = wurzel(  -y/2  +  wurzel ( y*(y+8)/4 ) )

und kein ± davor, da wir im Definitionsbereich keine neg. x-Werte haben und

in der Wurzel dürfen auch keine neg. Werte entstehen.

Also  f ^-1 (x) = wurzel(  -x/2  +  wurzel ( x*(x+8)/4 ) )

also ist die Ableitung  mit Kettenregel

1 / (2* wurzel(  -x/2  +  wurzel ( x*(x+8)/4 ))) * ( -1/2 + 1 / ( 2*   wurzel ( x*(x+8)/4 ) ) * ( x/2 + 2 )

und für x= 1 gibt das 1/6  .

Satz über Abl. der Umkehrfkt:  f ^-1 (y) ' = 1 / f ' (x)

also brauchen wir zu y=1 erst mal das x , das wäre auch 1

und wegen

f ' (x) = -2x^3 * (x^2-4) / ( x^2-2)^2 hat man   f ' (x) = 6

f ^-1 (x) =  1 / 6 .  Passt also.