Grenzwert lim_((x,y)->(0,0)) 4xy^2/(x^2 + y^2) bestimmen , falls dieser existiert

Question

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie den Grenzwert, sofern er existiert:

$${ lim }_{ (x,y)\rightarrow (0,0) }\frac { 4x{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } $$

Ich würde sagen, ja - er existiert und = 0, aber das ist sicher zu einfach gedacht...

Hestia

Answer 1

Benutze Polarkoordinaten, das ist immer einen Versuch wert, wenn da irgendwo \(x^2+y^2\) rumsteht: $$\frac{4xy^2}{x^2+y^2}=4r\cos\phi\sin^2\phi\to0\quad\text{(fuer $r\to0$, unabhaengig von $\phi$)}.$$

Abschaetzen geht auch: $$\left|\frac{4xy^2}{x^2+y^2}\right|\le\frac{4|x|y^2}{y^2}=4|x|.$$

Das sind so die Standardtricks, die man draufhaben sollte.