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Aufgabe:

Seien x,yR>0. x, y \in \mathbb{R}_{>0} . Zeigen Sie :  \mathrm{Sie:}

ln(x)+ln(y)2ln(x+y2) \frac{\ln (x)+\ln (y)}{2} \leq \ln \left(\frac{x+y}{2}\right)


könnte ielleicht  jemand mir helfen? 

dank schön ! 

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zeige xyx+y2 \sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}

und dann verwende die Monotonie von ln\ln.

Gruß

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1/2 * ( ln ( x ) + ln ( y ) ) ≤ ln [ ( x + y ) / 2 ]
1/2 * ln ( x * y)   ≤ ln [ ( x + y ) / 2 ]
ln ( √ (x * y ))   ≤ ln [ ( x + y ) / 2 ]  | e^ ()
√ (x * y )   ≤  ( x + y ) / 2   | quadrieren
x * y ≤ ( x2 + 2xy + y2 ) / 4
4xy ≤ x2 + 2xy + y2
0 ≤ x2 - 2xy + y2
0 ≤  ( x - y )2
Quadratterme sind immer ≥ 0

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