Aufgabe:
Seien x,y∈R>0. x, y \in \mathbb{R}_{>0} . x,y∈R>0. Zeigen Sie : \mathrm{Sie:} Sie : ln(x)+ln(y)2≤ln(x+y2) \frac{\ln (x)+\ln (y)}{2} \leq \ln \left(\frac{x+y}{2}\right) 2ln(x)+ln(y)≤ln(2x+y)
könnte ielleicht jemand mir helfen?
dank schön !
zeige xy≤x+y2 \sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2} xy≤2x+y
und dann verwende die Monotonie von ln\lnln.
Gruß
1/2 * ( ln ( x ) + ln ( y ) ) ≤ ln [ ( x + y ) / 2 ]1/2 * ln ( x * y) ≤ ln [ ( x + y ) / 2 ]ln ( √ (x * y )) ≤ ln [ ( x + y ) / 2 ] | e^ ()√ (x * y ) ≤ ( x + y ) / 2 | quadrierenx * y ≤ ( x2 + 2xy + y2 ) / 44xy ≤ x2 + 2xy + y20 ≤ x2 - 2xy + y20 ≤ ( x - y )2Quadratterme sind immer ≥ 0
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