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Wie kann ich das begründen und wie gehe ich vor?

Seien a,b∈ℕ und es existiert keine kleinste Bruchzahl a/b

EDIT: Überschrift redigiert.

Fragestellung gemäss Buch: Beweisen Sie, dass für a,b∈ℕ keine kleinste Bruchzahl a/b existiert.

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Seien a,b∈ℕ und es existiert keine kleinste Bruchzahl a/b

dann.....  ????

Also wir sollen Beweisen, dass es für a,b∈ℕ keine kleinste Bruchzahl existiert.

Als Hinweis meinten sie, dass wir überlegen sollen, ob das auch indirekt geht :/

in einem Buch steht der Hinweis: Zu jeder Bruchzahl a/ b finden Sie noch eine kleinere Bruchzahl, nämlich a/

b+1... den Hinweis verstehe ich aber leider nicht.

na ja    dieser Hinweis heißt ja nur, es ist immer

a/ (b+1)   < a/b 

Für zwei positive Bruchzahlen habt ihr ja "kleiner " vermutlich so definiert

x/y < u/v  ⇔ xv < yu

also prüfst du für  a/ (b+1)   < a/b 

ab < a*(b+1)

ab < ab + a

0 < a   also für alle a aus IN erfüllt.

oder bei meinem Beispiel

a/2b < a/b

ab < 2ab

0 < ab    ist auch für alle a aus IN erfüllt.

Wir haben die Kleinerrelation für Brüche noch gar nicht definiert. Uns ist nur diese Definition bekannt:

Bild Mathematik

Ich probiere mal eben deinen Ansatz und melde mich dann gleich nochmal..

Hmm nee leider verstehe ich das überhaupt nicht...

Kann ich das nun eigtl. indirekt beweisen, dass es keine kleinste Bruchzahl a/b gibt?

Du sagst ja mit deinem Beispiel 0 < a .. also ist 0 kleiner a ...aber a ist doch kein Bruch und damit habe ich doch nicht begründet, dass es KEINE kleinste Bruchzahl a/b gibt ??!

wenn man keine Kleinerrelation für Brüche def. hat,

kann man ja auch nicht sagen was

"kleinste Bruchzahl" heißt.

1 Antwort

+1 Daumen

ach so, fange an zu verstehen:

Ihr sollt zeigen:  Es gibt keine a,b∈ℕ so dass a/b die  kleinste Bruchzahl ist.

Angenommen es wären a,b∈ℕ so dass a/b = c  die  kleinste Bruchzahl ist.

dann wären allerdings a und 2b auch aus IN und es wäre a/2b < c im

Widerspruch zu "c ist die kleinste".

Avatar von 287 k 🚀

Also ich hätte jetzt so begonnen:

Zu zeigen: Es existiert keine kleinste Bruchzahl a/b mit a,b∈ℕ

Annahme: Es gibt eine kleinste Bruchzahl a/ b+1 mit a,b∈ℕ

-> und nun fehlt mir der indirekte Beweis ??! Dieser müsste ja dann zum Widerspruch führen, sodass bewiesen ist, dass es keine kleinste Bruchzahl a/b gibt mir a,b∈ℕ

Zu zeigen: Es existiert keine kleinste Bruchzahl a/b mit a,b∈ℕ

Annahme: Es gibt eine kleinste Bruchzahl a/ b mit a,b∈ℕ

Du musst ja das Gegenteil der Beh. annehmen!

Dann gilt: a/(b+1) ist kleiner als a/b, also

Widerspruch; denn dann ist a/b nicht die kleinste.

ahh okay danke :) und gibt es noch einen Weg mit dem ich zeigen kann wie ich auf den  kleinsten Buch a/ (b+1) gekommen bin ?:0

Da kannst du ja sagen. " Ist en alter Hut, wenn man den Nenner größer macht, wird der Bruch kleiner."

könnte man dann nicht auch sagen a/ b*2 ????? Dann wird es ja nämlich auch größer

genau, das war ja meine 1. Idee.

Muss ich das dann verallgemeinern und statt a/b*2 bzw. a/b+1 jeweils a/b*n bzw. a/b+n schreiben?

ich würde mich für genau einen davon entscheiden, etwa a/(b+1).

danke :) Aufgabe gelöst ✓

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