Dimension des Zeilen- und Spaltenraums in Abhängigkeit

Question

Moin!

Ich sitze an folgender Aufgabe und komme nicht so wirklich weiter. Ich weiß, dass die Dimension hier der Anzahl der linear unabhängigen Spalten bzw. Zeilenvektoren entspricht, jedoch tue ich mich mit dem Paramter r etwas schwer.

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus!

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \( r\in \mathbb{R} \) jeweils die Dimension des Zeilen- und des Spaltenraumes der Matrix $$ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & r \\ 1 & 3 & r & 0 \\ 1 & r & 3 & 2 \end{array}\right)$$ und geben Sie auch jeweils eine Basis an.

Answer 1

Spaltenraum:

dazu Stufenform mit Zeilenumformungen herstellen

1   2   3         r
0   1   r-3    -r
0   0   r-3    1-r  

außer für r=3 sind die ersten drei Spalten lin. unabh. bilden

also eine Basis des Spaltenraumes; denn der ist ja Teilraum von R^3

in diesem Fall gleich R^3.

für r=3 ist die 3. Spalte Vielfaches der ersten. aber die 4. bildet mit den ersten

beiden eine Basis von R^3 also ist auch hier der Spaltenraum = R^3.

Und weil immer  Spaltenrang = Zeilenrang ist, bilden die 3 Zeilen

immer eine Basis des Zeielenraumes.

Comments

Erst einmal vielen dank!
Ich habe ein paar Probleme mit der Zeilenumformung

Wenn ich mit 3.-1. und 2.-1. anfange, erhalte ich

1   2   3    r

0  -1  r-3  -r

0  r-2  0   2-r

wie bekomme ich jetzt "r-2" zu 0 und somit auf die stufenform?

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Oha, da war wohl bei mir was falsch.

Mit deiner Matrix ist es dann so:

für r=2 ist rang=2  und

die ersten beiden Spalten bilöden dann eine Basis des Spaltenraumes.

für r ungleich 2 kannst du die letzte Zeile durch (r-2) teilen und

hast

1   2   3    r

0  -1  r-3  -r

0    1  0     -1     und dann 2.Zeile + 3. Zeile

1   2    3        r

0  -1    r-3     -r

0    0   r-3     -1-r 
Das hat immer Rang = 3
Für r ungleich 3 sind die ersten
3 Spalten sind eine  Basis und für r=3
die ersten beiden mit der 4. Spalte

Zeilenrang = Spaltenrang also für
r=2  Basis der ersten beiden Zeilen
und sonst von allen dreien.

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Okay so scheint mir das schlüssig zu sein :)
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
Eine Frage hätte ich dann aber noch.

das heißt für r=2 ist die dimension des spalten- und zeilenraumes 2 und sonst 3?

 für r=3 sieht das ganze ja wie folgt aus

1  2  3  3

0 -1 0  -3

0  0  0 -4

dann sehe ich dass der erste und dritte vektor linear abhängig sind, also der 1., der 2. und der 4. linear unabhängig. 3 unabhängige vektoren, daraus folgt dimension =3

Ich soll ja jeweils eine basis angeben. Ist damit gemeint, einen Basisvektor anzugeben, oder die gesamte Basis? 
Falls die gesamte Basis gemeint ist, wäre diese im Fall r=3 dann die Vektoren: 1,0,0 | 2, -1,0 | 3,3,-4 oder Spalte 1,2 und 4 der Ausgangsmatrix?

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Ja, so ist es wohl gemeint. Nicht nur einen Basisvektor,

sondern alle. Macht sonst wenig Sinn.

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Was mich ehrlich gesagt noch ein wenig verwirrt, ist, der Zusammenhang zwischen Rang und Dimension.

Im Fall r=2 ist der Rang offensichtlich 2. Die Dimension auch? und wenn ja, warum?