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Es sei die Matrix \( A \in \mathbb{R}^{3 \times 4} \) gegeben durch

$$ A=\left(\begin{array}{cccc} {1} & {2} & {-1} & {3} \\ {2} & {-1} & {3} & {0} \\ {1} & {7} & {-6} & {9} \end{array}\right) $$

a) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns der durch \( A \) definierten linearen Abbildung.

b) Bestimmen Sie die Dimension von ker A.


Wenn ich die Matrix in Zeilenstufenform bringe, kriege ich eine Nullzeile. Das heißt ja Anzahl der Nullzeilen = Dimension des Kerns A, also 1. Aber warum ist die Dimension 2?

von

3 Antworten

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  <<  wenn ich die matrix in zeilenstufenform bringe

   <<  kriege ich eine Nullzeile.
   <<   Das heißt ja Anzahl der Nullzeilen = Dimension des Kerns A also 1

       Du machst es dir zu leicht. Allgemein gilt


     Rang  (  A  )  +  Dim  Kern  (  A  )  =  n  =  Anzahl Unbekannte =  4       (  1  )


       Du siehst das am Ehesten, wenn du die Matrix quadratisch machst. Da A nur drei Zeilen hat, kann ihr Rang höchstens 3 betragen;  um eine vierte Nullzeile magst du sie ergänzen, um sie quadratisch zu kriegen. Diese vierte Zeile zeigt dir praktisch an, dass der Kern mindestens Dimension 1 hat. Schreiben wir mal das homogene LGS an.


        x  +  2  y   -       z  +  3  w  =  0         (  2a  )

   2  x   -       y  +  3  z                =  0         (  2b  )

       x   +  7  y  -   6  z    +  9  w  =  0        (  2c  )


   Meine Strategie ist jetzt die folgende. Wenn  es mir gelingt, durch Null Setzen von w noch eine nicht triviale Lösung zu erhalten und anschließend in einem zweiten Durchgang durch Null Setzen von z , dann bin ich fertig. Dann habe ich nämlich zwei Basisvektoren gefunden. Also schreiben wir erstmal ( 2a-c ) an für w = 0 ; die Nummerierung ( a - c ) behalte ich jetzt immer bei, damit du weißt, welche Gleichungen zusammen gehören.


                       x  +  2  y  -      z  =  0      |   :  z               (  3a  )

                    2  x  -      y  +  3  z  =  0      |  :  z              (  3b  )

                        x  +  7  y  -  6  z   =  0      |  :  z              (  3c  )


    Hier ich bin ja galaktisch genial;  in ( 3a-c )  siehst du meinen Spezial Divisionstrick.  Indem wir durch z teilen, verringern wir die Anzahl der Unbekannten auf Zwei; und zwei Unbekannte gelten als beherrschbar.  Bei einem homogenen LGS geht ja die Linearität beim Dividieren nicht verloren.

   Freilich   wäre Division durch z verboten, wenn sämtliche nicht trivialen Lösungen z = 0 hätten. Lassen wir uns überraschen. Ich setze noch


         X  :=  x /  z   ;  Y  :=  y /  z        (  4  )


                 X  +   2  Y  =  1                     (   5a  )

            2  X    -       Y  =  (  -  3  )          (  5b  )

                 X    +  7  Y  =  6                   (  5c  )


   Subtraktionsverfahren  ( 5c ) - ( 5a ) . um X zu eliminieren


               5  Y  =  5  ===>  Y  =  1

         ( 5abc )  ===>  X  =  (  -  1  )


    und damit der geforderte Basisvektor


            e1  =  (  -  1  |  1  |  1  |  0  )       (  6  )


   Wie gesagt; eine Lösung mit z = 0 wäre in jedem Falle linear unabhängig von ( 6 )  ; in diesem Falle ergäbe ( 2a-c )


           x  +  2  y  +  3  w  =  0        |   :  µ               (  7a  )

        2  x   -     y              =  0        |  :  µ                (  7b  )

            x  +  7  y  +  9  w  =  0      |  :  µ              (  7c  )


    Was ist jetzt dieses µ ? Mit Arndt Brünner substituiere ich  x := 3 µ  Effektiv dividiere ich also durch x .  Es ist nur so;  bei Arndt spicke ich, wie du den Kernvektor von Vorn herein primitiv kriegst ( Ansonsten hättest du hinterher alles schön auf den Hauptnenner zu bringen. )


  https://www.matheretter.de/rechner/lgspro


       Y  :=   y / µ   ;  W  :=  w / µ       (  8  )


         Wenn du das jetzt so machst, dann folgt mit ( 7b )  Y = 6   und aus ( 7a;c ) W = ( - 5 )  und somit


              e2  =  (  3  |  6  |  0  |  -  5  )       (  9  )


   Ich würd also mal behaupten, ( 6;9 ) sind die beiden gesuchten Basisvektoren - Aufgabe gelöst.

  Jetzt könnte ich dieses Spielchen ja immer weiter treiben; es wäre nur die Frage, ob du dann noch etwas linear Unabhängiges kriegst. Ich erinnere dich an ( 1 ) ; ich glaube kaum,  dass Rang ( A ) = 1 - nur unter dieser Voraussetzung wäre ein dritter Kernvektor in Aussicht.

von 5,5 k
0 Daumen

Das heißt ja Anzahl der Nullzeilen = Dimension des Kerns A also 1

Nein, die Dimension des Kerns ist immer:

Dimension des Raums, auf dem die Abb. definiert ist

minus  Rang der Matrix.

Hier also 4 - 2 = 2  = dim (Kern).

Das merkst du auch bei der Bestimmung einer Basis, du 

kannst erst mal zwei Variable frei wählen.

von 228 k 🚀
0 Daumen

wenn du zuerst die a) löst und eine Basis bestimmst, dann ist die Dimension gleich der Anzahl der Basisvektoren.

von 37 k

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