Grenzwert bestimmen mit dem Vergleichskriterium

Question

Aufgabe:

Grenzwert von \( \sqrt[n]{n} \)

a) Verwenden Sie den Grenzwert von \( \sqrt[n]{n} \) und das Vergleichskriterium, um zu zeigen, dass für jedes \( a>0 \) die Folge \( a_{n}=\sqrt[n]{a} \) den Grenzwert 1 hat. Hinweis: Machen Sie eine Fallunterscheidung \( a \geq 1 \) und \( a<1 \).

b) Bestimmen Sie den Grenzwert \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}(4 n)^{-\frac{1}{2 n}} \).

c) Bestimmen Sie den Grenzwert \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sum \limits_{k=0}^{n} \sqrt[2]{k}} \quad \) mit dem Vergleichskriterium.

Answer 1

$$\lim_{n \to +\infty} (4n)^{-\frac{1}{2n}}=\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{(4n)^{\frac{1}{2n}}}=\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{4^{\frac{1}{2n}} \cdot n^{\frac{1}{2n}} }=\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{4^{\frac{1}{2n}}} \cdot \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{2n}} }=1$$


weil:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{4^{\frac{1}{2n}}}=\frac{1}{4^{\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2n}}}=\frac{1}{4^0}=1$$


und man weiß dass:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}}=1$$

also auch dass 

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{2n}}}=1$$

Du kannst das Ergebnis bestätigen, indem du 2 mal die Regel von L'Hospital anwendest.