kurvendiskussion x^4 - x^3

Question

Hallo ,

Ich habe als Aufgabe die kurvendiskussion von f(x) = x^4 - x^3 zu bilden .

Da ich nicht sehr fit bin mit allen Schritten wäre sehr hilfreich wenn ihr mein Ansatz korriegiert mit dem entsprechenden Lösungen und Rechenweg dazu :)

Mein Ansatz :

Ich bilde f ´ , f ´´ , ( f ´´´ ) also alle drei Ableitungen
von f(x) = x^4 - x^3

f´ ( x) =  4x^3 - 3x^2

f ´´(x) = 12x^2 - 6x

f ´´´ ( x) = 24x - 6

Nun als zweites Setze ich meine erste Ableitung 0

f ´(x) = 0

0 = 4x^3 - 3x^2  / : 4

0= x^3 - 3/4 x^2      <----- nun ausklammern

0 = x^2 ( x - 3/4 )

0 = x - 3/4   / + 3/4

3/4 = x₁

x₂ = 0

P₁ ( 3/4 / 0 )   ;   P₂ ( 0 / 0 )

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Nun suche für erste Ableitung f´(x) eine kleinere Zahl als die werte von P1 und P2 und setze für x ein

f´ ( 7/10 ) =  - 1/20   Tiefpunkt

f ´ ( - 0,1 ) = -13/20   Tiefpunkt

! Achtung bei diesen Schritt bin ich unsicher  Da ich es nicht anders gelernt habe bzw. ich keine einfachere Methode kenne

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Nun bestimme ich den Wendepunkt indem ich für die zweite Ableitung f ´´ ( x ) = 12 x^2 - 6x

f´´(x) = 0

0 = 12 x^2 - 6x / : 12

0 = x^2 - 6/12x       <----- PQ-Formel von mir ausgerechnet

x₁ = 1   ;  x₂ = 0       --->>>>>    P ( 1/ 0 )

Nun suche wie davor ein Zahl die kleiner ist als 1 und setze es für x ein ( f´´ )

f( 0,9 ) = - 0,6  Linkskrümmung

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Symmetrie Eigenschaften von f (x)

Keine Symmetrie

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Ich hoffe ihr könnt mir helfen mit den entsprechenden Lösungen und Rechenwege ( bitte nur zu vereinfachte rechenwege möchte es gern nachvollziehen können )

Comments

Hallo ,

Kann mir jemand weiterhelfen beim hinreichenden kriterium

Ich weiß nicht wie auf dem Wert
f´´ (x1) > 0  → T1  ( 3/4    /  - 27/256 )

Diese Werte habe von einen Online Kurvendiskusion rechner

Leider ist der rechenweg nicht dabei bzw. will ich wissen woher die - 27/256 kommt oder wie das erhalte

Answer 1

> Nun suche ich ...

hier müsstest du jeweils über prüfen, ob f ' bzw. f '' das Vorzeichen wechselt (wird bei dir nicht klar)

Du kannst stattdessen

für die Extremwerte  die Nullstellen von f ' in f '' einsetzen :  f ''(x) > 0 → T (!)  f ''(x) < 0 → H

für die Wendepunkte  die Nullstellen von f '' in f ''' einsetzen :  f ''' (x) ≠ 0 → W

[ Ergibt diese Überprüfung aber  ... = 0, bleibt nur der Vorzeichenwechsel ]

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo ,

Ich habe es versucht aber bin nicht zufrieden

Bitte die Lösung und rechnenweg mit zahlen hinzufügen

Ich komme damit nicht klar sorry trotz deiner bemühung

Answer 2

f ( x ) = x⁴ - x³

D = ℝ

Nullstellen
f ( x ) = =
x^4 - x^3 = 0
x^3 * ( x -1 ) = 0
x = 0
und
x = 1
( 0 | 0 ) ( 1 | 0 )

x^1 = 0 wäre ein Schnittpunkt
x^2 = 0  ist ein Berührpunkt
x^3 = 0 ein Sattelpunkt

1.Ableitung
f ´( x ) = 4 * x^3 - 3 * x^2
Stellen mit waagerechter Tangente
4 * x^3 - 3 * x^2 = 0
x^2 * ( 4*x - 3 ) = 0
x = 0
und
x = 3/4
( 0 | 0 ) ( 3/4 | -0.1055 )

Der Punkt ( 0 | 0 ) ist schon als Sattelpunkt erkannt.
Ist also kein Hoch- oder Tiefpunkt.

Monotonie steigend
f ´( x ) > 0
f ´( x ) =  4 * x^3 - 3 * x^2 > 0
x^2 * ( 4*x - 3 ) > 0
x^2 ist stets > 0 ( außer bei 0 )
4*x - 3 > 0
x > 3/4

Monotonie ist ab x > 3/4 steigend
also
Monotonie x < 3/4 fallend
Der Graph geht bei x = 3/4 von fallend nach steigend.
x ist ein Tiefpunkt

~plot~ x^4 - x^3 ~plot~

Ich habe diese Kurvendiskussion einmal ohne
die 2.Ableitung durchgeführt weil es schon früh klar war
das bei x = 0 ein Sattelpunkt ist.