Klausuraufgabe, Induktion, Binomialkoeffizient

Question

Habe heute mit einer Freundin eine alte Analysisklausur durchgerechnet und obwohl es am Anfang gut aussah, ist es bei der Induktionsaufgabe natürlich am Induktionsschritt gescheitert.

"Zeigen Sie, dass  $\sum_{k=1}^{n}{\begin{pmatrix} k\\4\\ \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} n+1\\5\\ \end{pmatrix}$ für alle n ∈ ℕ."

Induktionsanfang und -voraussetzung hat alles funktioniert.

Induktionsschritt:

$\sum_{k=1}^{n+1}{\begin{pmatrix} k\\4\\ \end{pmatrix}} = \sum_{k=1}^{n}{\begin{pmatrix} k\\4\\ \end{pmatrix}} + \begin{pmatrix} n+1\\4\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1\\5\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n+1\\4\\ \end{pmatrix}$ = ..

Das ist der Punkt an dem wir leider nicht mehr weiterkommen. Kann uns da jemand helfen ?

Comments

Dahinten wird addiert, nicht multipliziert.

Frage: Kannst Du das Pascalsche Dreieck aufmalen?

---

Stimmt, da kommt ein + hin. Das habe ich vergessen. 

Ja kann ich.

---

Dann kennst Du offensichtlich das Bildungsgesetz für Binomialkoeffizienten. Wenn man zwei nebeneinander addiert, dann ...

Answer 1

also wenn du das mit dem + korrigiert hast, steht da

n+1 über 5   +   n+1 über 4  und

das ist nach einer bekannten Formel

oder eben am Pas.Dreieck ablesbar

k+2 über 5.    q.e.d.

Comments

Jap, habe es gestern Abend auch noch rausgefunden.

Danke trotzdem!